Encontre os números críticos da função:
f(x) = raiz cúbica(x^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os números críticos da função . Estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são números críticos e como calcular derivadas de funções envolvendo raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são números críticos. Números críticos de uma função são os valores de onde a derivada da função é zero ou não existe, mas onde a própria função está definida. Esses pontos são importantes porque eles podem indicar pontos de máximo, mínimo ou pontos de inflexão na gráfica da função.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função . Para facilitar, podemos reescrever a função usando potências:
Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. A regra da cadeia diz que a derivada de é .
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos encontrar onde ela é zero. Isso acontece quando o numerador da fração é zero, ou seja:
Então, é um número crítico.

Passo 5

Também precisamos verificar onde a derivada não existe. Olhando para a derivada:
A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja:
Então, e são pontos onde a derivada não existe. Precisamos verificar se a função está definida nesses pontos:
Como e estão definidos, e são também números críticos.

Resposta

Os números críticos da função são , e .

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