Um paisagista deseja cercar um jardim retangular com
de cerca. Use os métodos do cálculo para determinar a área máxima que pode ter o jardim.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema diz que um paisagista quer cercar um jardim retangular usando 20 metros de cerca. A gente vai usar cálculo, especificamente otimização, para descobrir qual é a área máxima que esse jardim pode ter. Pra isso, vamos precisar montar uma função que represente a área do jardim em termos de uma variável e depois encontrar o valor que maximiza essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área
de um retângulo é dada por:
Vamos chamar a largura de
e o comprimento de
. Então:
Passo 3
Sabemos que o perímetro do retângulo é a soma de todos os lados, então:
Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por 2:
Agora, vamos isolar uma das variáveis. Vamos isolar
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Essa é uma função quadrática que representa a área em função de
. Para encontrar a área máxima, precisamos encontrar o valor de
que maximiza essa função.
Passo 5
Para encontrar o máximo da função
, vamos derivar em relação a
e igualar a zero:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
na equação
:
Resposta
A área máxima que o jardim pode ter é de
.