Um paisagista deseja cercar um jardim retangular com 20 m de cerca. Use os métodos do cálculo para determinar a área máxima que pode ter o jardim.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema diz que um paisagista quer cercar um jardim retangular usando 20 metros de cerca. A gente vai usar cálculo, especificamente otimização, para descobrir qual é a área máxima que esse jardim pode ter. Pra isso, vamos precisar montar uma função que represente a área do jardim em termos de uma variável e depois encontrar o valor que maximiza essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é dada por:
Vamos chamar a largura de e o comprimento de . Então:

Passo 3

Sabemos que o perímetro do retângulo é a soma de todos os lados, então:
Podemos simplificar essa equação dividindo tudo por 2:
Agora, vamos isolar uma das variáveis. Vamos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula da área:
Essa é uma função quadrática que representa a área em função de . Para encontrar a área máxima, precisamos encontrar o valor de que maximiza essa função.

Passo 5

Para encontrar o máximo da função , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na equação :

Resposta

A área máxima que o jardim pode ter é de .

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