Esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
. Isso envolve trabalhar com polinômios, especificamente um polinômio de quarto grau. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interseções com os eixos, verificar o comportamento da função e identificar seus extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as interseções com o eixo
. Isso acontece quando
. Substituindo na função:
Então, o gráfico passa pelo ponto
.
Passo 3
Agora, vamos achar as interseções com o eixo
. Isso ocorre quando
:
Podemos rearranjar:
Essa equação não é fácil de resolver por fatoração, então vamos usar métodos numéricos ou considerar que não há soluções reais. Portanto, a função não corta o eixo
.
Passo 4
Vamos determinar os extremos da função encontrando a derivada e igualando-a a zero:
Igualando a zero:
As soluções são
e
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada:
Para
:
Para
:
Calculando
:
E para
:
Então, temos máximos em
e
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função para
indo ao infinito positivo e negativo. O termo de maior grau é
, que domina:
Isso significa que os ramos do gráfico descem para baixo nas extremidades.
Passo 7
Com todas as informações coletadas:
- Ponto de mínimo em
- Máximos em
e - O gráfico não corta o eixo
- Comportamento descendente nas extremidades
Podemos esboçar o gráfico da função
com esses pontos e comportamento.
Resposta
O gráfico da função
possui um ponto de mínimo em
, máximos em
e
, não intercepta o eixo
e tende a
à medida que
vai para
.