Esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x) = 2 + 2 x^2 - x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função . Isso envolve trabalhar com polinômios, especificamente um polinômio de quarto grau. Para resolver, vamos precisar identificar pontos importantes como interseções com os eixos, verificar o comportamento da função e identificar seus extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as interseções com o eixo . Isso acontece quando . Substituindo na função:
Então, o gráfico passa pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos achar as interseções com o eixo . Isso ocorre quando :
Podemos rearranjar:
Essa equação não é fácil de resolver por fatoração, então vamos usar métodos numéricos ou considerar que não há soluções reais. Portanto, a função não corta o eixo .

Passo 4

Vamos determinar os extremos da função encontrando a derivada e igualando-a a zero:
Igualando a zero:
As soluções são e .

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada:
Para :
í
Para :
á
Calculando :
E para :
Então, temos máximos em e .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função para indo ao infinito positivo e negativo. O termo de maior grau é , que domina:
Isso significa que os ramos do gráfico descem para baixo nas extremidades.

Passo 7

Com todas as informações coletadas:
  • Ponto de mínimo em
  • Máximos em e
  • O gráfico não corta o eixo
  • Comportamento descendente nas extremidades
Podemos esboçar o gráfico da função com esses pontos e comportamento.

Resposta

O gráfico da função possui um ponto de mínimo em , máximos em e , não intercepta o eixo e tende a à medida que vai para .

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