Uma projeção, válida para 5 anos, revela que daqui a
anos a população de certo bairro será
mil habitantes.
Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será máxima?
Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será máxima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre a projeção da população de um bairro ao longo de 5 anos, representada pela função
(em milhares de habitantes). O que precisamos descobrir é em que momento, dentro desses 5 anos, a taxa de crescimento da população será a maior possível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação e pontos de máximo ou mínimo em funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a taxa de crescimento da população. Basicamente, a taxa de crescimento é a velocidade com que a população está aumentando ou diminuindo em um determinado momento. Matematicamente, isso é representado pela derivada da função
em relação ao tempo
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da população em qualquer momento
. A função dada é:
Aplicando a regra de derivação termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então, a taxa de crescimento da população é dada por
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar quando essa taxa de crescimento (
) é máxima dentro do período de 5 anos. Para isso, precisamos encontrar o máximo da função
. Como
é uma função quadrática da forma
, onde
, sabemos que ela tem um ponto de máximo (porque o coeficiente de
é negativo).
Passo 5
Para encontrar o ponto de máximo de uma função quadrática
, usamos a fórmula do vértice:
No nosso caso,
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Encontramos que o ponto de máximo da taxa de crescimento ocorre em
anos. Como 3 está dentro do período de 5 anos que estamos analisando, esse é o momento em que a população está crescendo mais rapidamente.
Resposta
Dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será máxima no terceiro ano.