Uma projeção, válida para 5 anos, revela que daqui a t anos a população de certo bairro será P(t) = -t^3 + 9t^2 + 48t + 50 mil habitantes.
Em que instante, dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será máxima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre a projeção da população de um bairro ao longo de 5 anos, representada pela função (em milhares de habitantes). O que precisamos descobrir é em que momento, dentro desses 5 anos, a taxa de crescimento da população será a maior possível. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação e pontos de máximo ou mínimo em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a taxa de crescimento da população. Basicamente, a taxa de crescimento é a velocidade com que a população está aumentando ou diminuindo em um determinado momento. Matematicamente, isso é representado pela derivada da função em relação ao tempo , ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da população em qualquer momento . A função dada é:
Aplicando a regra de derivação termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então, a taxa de crescimento da população é dada por .

Passo 4

Agora, queremos encontrar quando essa taxa de crescimento ( ) é máxima dentro do período de 5 anos. Para isso, precisamos encontrar o máximo da função . Como é uma função quadrática da forma , onde , sabemos que ela tem um ponto de máximo (porque o coeficiente de é negativo).

Passo 5

Para encontrar o ponto de máximo de uma função quadrática , usamos a fórmula do vértice:
á
No nosso caso, e . Substituindo na fórmula:
á

Passo 6

Encontramos que o ponto de máximo da taxa de crescimento ocorre em anos. Como 3 está dentro do período de 5 anos que estamos analisando, esse é o momento em que a população está crescendo mais rapidamente.

Resposta

Dentro do período de 5 anos, a taxa de crescimento da população será máxima no terceiro ano.

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