Encontre os números críticos das funções dadas a seguir.
(g)
(g)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os números críticos da função
. Números críticos são os valores de
onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de derivação, especialmente usando a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A função possui a forma
, onde
. Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que a derivada de
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora substituímos
e
na expressão da derivada:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Aqui, simplificamos
.
Passo 6
Para encontrar os números críticos, precisamos identificar onde
ou onde
não existe.
Primeiro, vamos resolver
:
Como a segunda parte é uma potência, ela nunca será zero (a menos que
, mas isso irá tornar a expressão indefinida). Portanto, temos:
Passo 7
Agora, vamos verificar onde a derivada não existe. A derivada
não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando:
Vamos resolver essa equação:
Podemos tentar encontrar raízes racionais. Testando
:
Fatorando:
Portanto,
e
tornam a derivada indefinida.
Passo 8
Finalmente, compilamos todos os números críticos encontrados:
- Onde
: e - Onde
não existe: e
Observe que
aparece em ambos os casos.
Resposta
Os números críticos da função
são:
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(f)
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(a)
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(h)
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(1)
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