Encontre os números críticos das funções dadas a seguir.
(g)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os números críticos da função . Números críticos são os valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de derivação, especialmente usando a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A função possui a forma , onde . Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos calcular :
Agora substituímos e na expressão da derivada:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão da derivada:
Aqui, simplificamos .

Passo 6

Para encontrar os números críticos, precisamos identificar onde ou onde não existe.
Primeiro, vamos resolver :
Como a segunda parte é uma potência, ela nunca será zero (a menos que , mas isso irá tornar a expressão indefinida). Portanto, temos:

Passo 7

Agora, vamos verificar onde a derivada não existe. A derivada não existe quando o denominador é zero, ou seja, quando:
ãá
Vamos resolver essa equação:
Podemos tentar encontrar raízes racionais. Testando :
é
Fatorando:
Portanto, e tornam a derivada indefinida.

Passo 8

Finalmente, compilamos todos os números críticos encontrados:
  • Onde : e
  • Onde não existe: e
Observe que aparece em ambos os casos.

Resposta

Os números críticos da função são:

Exercícios relacionados

Encontre os números críticos das funções dadas a seguir.
(f)
Encontre os números críticos das funções dadas a seguir.
(a)
Encontre os números críticos das funções dadas a seguir.
(h)
Encontre os números críticos das funções dadas a seguir.
(1)