Encontre os números críticos das funções. f(x) = t^(3/4) - 2 * t^(1/4)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa encontrar os números críticos dela. Números críticos são os valores de onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções com potências fracionárias e resolver equações.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em relação a . Usamos a regra da potência, que diz que se , então .
Aplicando isso:
Derivando cada termo:
Simplificando os expoentes:
Que também pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, vamos achar onde a derivada é igual a zero:
Vamos rearranjar a equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os expoentes negativos:
Simplificando o expoente:
Ou seja:
Multiplicando ambos os lados por :
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para :

Passo 4

Além de onde a derivada é zero, precisamos verificar onde ela não existe. Olhando nossa expressão para :
Os termos e não estão definidos quando , porque não dá para dividir por zero. Portanto, também é um ponto crítico.

Passo 5

Juntando tudo, os números críticos da função são:
  • (onde a derivada é zero)
  • (onde a derivada não existe)

Resposta

Os números críticos da função são e .

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