Sejam p e q números reais com p < q. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
[p, q)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo para a gente encontrar uma série de potências cujo intervalo de convergência seja [p, q). Isso envolve o estudo das séries de potências, que são somas infinitas de termos com potências de , onde c é o centro da série. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar o intervalo de convergência de uma série de potências e ajustar o centro e o raio de forma que o intervalo resultante seja exatamente [p, q).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências geral tem a forma:
Aqui, c é o centro da série e são os coeficientes. O intervalo de convergência dessa série depende do raio de convergência R, que determina onde a série converge. A regra geral é que a série converge para todos os x que satisfazem:
Nos casos de igualdades ( ), a convergência pode depender dos termos específicos da série, mas o enunciado pede exatamente para termos um intervalo que inclua p e exclua q, ou seja, [p, q).

Passo 3

Para que o intervalo de convergência seja [p, q), precisamos identificar o centro c e o raio R de forma que:
  1. (para incluir p no intervalo)
  2. (para definir o limite superior do intervalo)
Resolvendo essas duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então, o centro da série deve ser a média de p e q, e o raio deve ser metade da distância entre p e q.

Passo 4

Agora que temos c e R, podemos construir a série de potências. Uma escolha simples e comum é usar a série geométrica, que tem a forma:
Essa série converge quando . Para adaptá-la ao nosso caso, substituímos r por :
Dessa forma, a condição de convergência é exatamente o intervalo que queremos.

Passo 5

Substituindo os valores de c e R que encontramos:
A série fica:
Simplificando a fração:

Resposta

A série de potências desejada é:
Essa série converge exatamente no intervalo [p, q).

Exercícios relacionados