Sejam
e q números reais com
. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado tá pedindo para a gente encontrar uma série de potências cujo intervalo de convergência seja
. Isso envolve o estudo das séries de potências, que são somas infinitas de termos com potências de
, onde
é o centro da série. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar o intervalo de convergência de uma série de potências e ajustar o centro e o raio de forma que o intervalo resultante seja exatamente
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de potências geral tem a forma:
Aqui,
é o centro da série e
são os coeficientes. O intervalo de convergência dessa série depende do raio de convergência
, que determina onde a série converge. A regra geral é que a série converge para todos os
que satisfazem:
Nos casos de igualdades (
), a convergência pode depender dos termos específicos da série, mas o enunciado pede exatamente para termos um intervalo que inclua
e exclua
, ou seja,
.
Passo 3
Para que o intervalo de convergência seja
, precisamos identificar o centro
e o raio
de forma que:
-
(para incluir no intervalo) -
(para definir o limite superior do intervalo)
Resolvendo essas duas equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as duas equações:
Então, o centro da série deve ser a média de
e
, e o raio deve ser metade da distância entre
e
.
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos construir a série de potências. Uma escolha simples e comum é usar a série geométrica, que tem a forma:
Essa série converge quando
. Para adaptá-la ao nosso caso, substituímos
por
:
Dessa forma, a condição de convergência
é exatamente o intervalo que queremos.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
que encontramos:
A série fica:
Simplificando a fração:
Resposta
A série de potências desejada é:
Essa série converge exatamente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta
da região delinnitada pelas curvas
e
.
Encontre os números críticos das funções.
Sejam
e q números reais com
. Encontre uma série de potências cujo intervalo de convergência seja