Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+1(2 n+1)!. Para isso, vamos usar Testes de Convergência de Séries, especificamente o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge absolutamente. Se L > 1, a série diverge. E se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an na nossa série:
an = (-1)^n x^2n+1(2n+1)!
Agora, vamos calcular an+1:
an+1 = (-1)^n+1 x^2(n+1)+1(2(n+1)+1)! = (-1)^n+1 x^2n+3(2n+3)!

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1 x^2n+3 / (2n+3)!(-1)^n x^2n+1 / (2n+1)! |
Simplificando:
L = limn to infty | -x^2(2n+3)(2n+2) | = limn to infty x^2(2n+3)(2n+2)

Passo 5

Observando o limite:
À medida que n cresce, (2n+3)(2n+2) também cresce sem limite, então:
L = limn to infty x^2(2n+3)(2n+2) = 0
Como 0 < 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todo valor de x.

Resposta

O raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é (-infty, infty).

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