Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
4/7 - 4/8 + 4/9 - 4/10 + 4/11 - ...

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma série alternada da forma e precisamos usar o Teste da Série Alternada para determinar se essa série converge ou diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Série Alternada: Uma série onde os termos mudam de sinal.
  • Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz): Um método para verificar a convergência de séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos a forma geral da nossa série. Observamos que os termos alternam sinais e têm a forma , onde n começa em 7 e aumenta de 1 a cada termo.
Então, a série pode ser escrita como:
Aqui, .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma ou converge se duas condições forem atendidas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo n.
  2. O limite dos termos tende a zero quando n tende ao infinito, ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar a primeira condição: se os termos são decrescentes.
Temos . Conforme n aumenta, o valor de diminui. Por exemplo:
Portanto, os termos são decrescentes.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: se o limite dos termos tende a zero.
Calculamos:
Então, essa condição também é satisfeita.

Passo 6

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas (termos decrescentes e limite dos termos igual a zero), podemos concluir que a série converge.

Resposta

A série converge segundo o Teste da Série Alternada.

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