Utilize o teste da série alternada para decidir a convergência ou divergência da serie dada.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma série alternada da forma
e precisamos usar o Teste da Série Alternada para determinar se essa série converge ou diverge.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Série Alternada: Uma série onde os termos mudam de sinal.
- Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz): Um método para verificar a convergência de séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos a forma geral da nossa série. Observamos que os termos alternam sinais e têm a forma
, onde
começa em 7 e aumenta de 1 a cada termo.
Então, a série pode ser escrita como:
Aqui,
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma
ou
converge se duas condições forem atendidas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - O limite dos termos
tende a zero quando tende ao infinito, ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar a primeira condição: se os termos são decrescentes.
Temos
. Conforme
aumenta, o valor de
diminui. Por exemplo:
Portanto, os termos são decrescentes.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição: se o limite dos termos tende a zero.
Calculamos:
Então, essa condição também é satisfeita.
Passo 6
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas (termos decrescentes e limite dos termos igual a zero), podemos concluir que a série converge.
Resposta
A série
converge segundo o Teste da Série Alternada.