Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os **autovalores** e **autovetores** da matriz quadrada dada e ver se dá pra **diagonalizar** ela. Pra isso, vamos usar conceitos de **álgebra linear**, como o cálculo do determinante e a resolução de equações características. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que vamos trabalhar:
Passo 3
Para encontrar os **autovalores** (), precisamos resolver a **equação característica** que vem do determinante de igual a zero:
Onde é a matriz identidade de ordem 3.
Passo 4
Vamos montar a matriz :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 6
Calculando o determinante da matriz :
Passo 7
Para encontrar os valores de , resolvemos:
Então, as soluções são:
Passo 8
Agora, temos os **autovalores**:
Passo 9
Vamos encontrar os **autovetores** correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos para cada .
Passo 10
**Para :**
Resolvendo o sistema:
Uma solução possível é livre, digamos , e , . Então, o **autovetor** é:
Passo 11
**Para :**
Resolvendo o sistema:
Podemos escolher , então:
Racionalizando:
Então, o **autovetor** é:
Passo 12
**Para :**
Resolvendo o sistema:
Podemos escolher , então:
Racionalizando:
Então, o **autovetor** é:
Passo 13
Com os **autovalores** e **autovetores** encontrados, podemos formar a matriz com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:
Resposta
Os **autovalores** da matriz são , e , e os correspondentes **autovetores** são , e . A matriz é **diagonalizável** e a diagonalização é dada por , onde: