Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
(f) (ccc7 & 0 & 0 0 & 1 & -i 0 & i & -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e ver se dá pra diagonalizar ela. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o cálculo do determinante e a resolução de equações características. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que vamos trabalhar:
A = 7 & 0 & 0 0 & 1 & -i 0 & i & -1

Passo 3

Para encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ), precisamos resolver a equação característica que vem do determinante de igual a zero:
Onde é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 4

Vamos montar a matriz A - lambda I = 7 - lambda & 0 & 0 0 & 1 - lambda & -i 0 & i & -1 - lambda :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (7 - lambda) cdot det 1 - lambda & -i i & -1 - lambda

Passo 6

Calculando o determinante da matriz det 1 - lambda & -i i & -1 - lambda = (1 - lambda)(-1 - lambda) - (-i)(i) = (lambda^2 - 1) - (-i^2) = lambda^2 - 1 - 1 = lambda^2 - 2 :
det(A - lambda I) = (7 - lambda)(lambda^2 - 2)

Passo 7

Para encontrar os valores de (7 - lambda)(lambda^2 - 2) = 0 , resolvemos:
7 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 7
Então, as soluções são:
lambda^2 - 2 = 0 Rightarrow lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2

Passo 8

Agora, temos os autovalores:
lambda1 = 7, lambda2 = raiz2, lambda3 = -raiz2

Passo 9

Vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos para cada .

Passo 10

Para A - 7I = 0 & 0 & 0 0 & -6 & -i 0 & i & -8 :
-6v2 - i v3 = 0
Resolvendo o sistema:
i v2 - 8 v3 = 0
v1 = 1 0 0
Uma solução possível é livre, digamos , e , . Então, o autovetor é:

Passo 11

Para A - raiz2I = 7 - raiz2 & 0 & 0 0 & 1 - raiz2 & -i 0 & i & -1 - raiz2 :
(7 - raiz2)v1 = 0 Rightarrow v1 = 0
Resolvendo o sistema:
(1 - raiz2)v2 - i v3 = 0
i v2 + (-1 - raiz2)v3 = 0
(1 - raiz2)v2 = i Rightarrow v2 = i1 - raiz2
Podemos escolher v2 = i(1 + raiz2)(1 - raiz2)(1 + raiz2) = i(1 + raiz2)1 - 2 = -i(1 + raiz2) , então:
v2 = 0 -i(1 + raiz2) 1
Racionalizando:
Então, o autovetor é:

Passo 12

Para A + raiz2I = 7 + raiz2 & 0 & 0 0 & 1 + raiz2 & -i 0 & i & -1 + raiz2 :
(7 + raiz2)v1 = 0 Rightarrow v1 = 0
Resolvendo o sistema:
(1 + raiz2)v2 - i v3 = 0
i v2 + (-1 + raiz2)v3 = 0
(1 + raiz2)v2 = i Rightarrow v2 = i1 + raiz2
Podemos escolher v2 = i(1 - raiz2)(1 + raiz2)(1 - raiz2) = i(1 - raiz2)1 - 2 = i(1 - raiz2) , então:
v3 = 0 i(1 - raiz2) 1
Racionalizando:
Então, o autovetor é:

Passo 13

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos formar a matriz P = 1 & 0 & 0 0 & -i(1 + raiz2) & i(1 - raiz2) 0 & 1 & 1 com os autovetores como colunas e a matriz diagonal D = 7 & 0 & 0 0 & raiz2 & 0 0 & 0 & -raiz2 com os autovalores na diagonal:

Resposta

Os autovalores da matriz são 1 0 0, 0 -i(1 + raiz2) 1 e 0 i(1 - raiz2) 1, e os correspondentes autovetores são P = 1 & 0 & 0 0 & -i(1 + raiz2) & i(1 - raiz2) 0 & 1 & 1 , D = 7 & 0 & 0 0 & raiz2 & 0 0 & 0 & -raiz2 , e . A matriz é diagonalizável e a diagonalização é dada por , onde:

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