Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz quadrada dada e ver se dá pra diagonalizar ela. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o cálculo do determinante e a resolução de equações características. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que vamos trabalhar:
A = 7 & 0 & 0 0 & 1 & -i 0 & i & -1
Passo 3
Para encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ), precisamos resolver a equação característica que vem do determinante de igual a zero:
Onde é a matriz identidade de ordem 3.
Passo 4
Vamos montar a matriz A - lambda I = 7 - lambda & 0 & 0 0 & 1 - lambda & -i 0 & i & -1 - lambda :
Passo 5
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (7 - lambda) cdot det 1 - lambda & -i i & -1 - lambda
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos formar a matriz P = 1 & 0 & 0 0 & -i(1 + raiz2) & i(1 - raiz2) 0 & 1 & 1 com os autovetores como colunas e a matriz diagonal D = 7 & 0 & 0 0 & raiz2 & 0 0 & 0 & -raiz2 com os autovalores na diagonal:
Resposta
Os autovalores da matriz são 1 0 0, 0 -i(1 + raiz2) 1 e 0 i(1 - raiz2) 1, e os correspondentes autovetores são P = 1 & 0 & 0 0 & -i(1 + raiz2) & i(1 - raiz2) 0 & 1 & 1 , D = 7 & 0 & 0 0 & raiz2 & 0 0 & 0 & -raiz2 , e . A matriz é diagonalizável e a diagonalização é dada por , onde: