Para as matrizes quadradas abaixo, determine os autovalores e autovetores e diagonalize, quando possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os **autovalores** e **autovetores** da matriz quadrada dada e ver se dá pra **diagonalizar** ela. Pra isso, vamos usar conceitos de **álgebra linear**, como o cálculo do determinante e a resolução de equações características. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que vamos trabalhar:

Passo 3

Para encontrar os **autovalores** (), precisamos resolver a **equação característica** que vem do determinante de igual a zero: Onde é a matriz identidade de ordem 3.

Passo 4

Vamos montar a matriz :

Passo 5

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 6

Calculando o determinante da matriz :

Passo 7

Para encontrar os valores de , resolvemos: Então, as soluções são:

Passo 8

Agora, temos os **autovalores**:

Passo 9

Vamos encontrar os **autovetores** correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos para cada .

Passo 10

**Para :** Resolvendo o sistema: Uma solução possível é livre, digamos , e , . Então, o **autovetor** é:

Passo 11

**Para :** Resolvendo o sistema: Podemos escolher , então: Racionalizando: Então, o **autovetor** é:

Passo 12

**Para :** Resolvendo o sistema: Podemos escolher , então: Racionalizando: Então, o **autovetor** é:

Passo 13

Com os **autovalores** e **autovetores** encontrados, podemos formar a matriz com os autovetores como colunas e a matriz diagonal com os autovalores na diagonal:

Resposta

Os **autovalores** da matriz são , e , e os correspondentes **autovetores** são , e . A matriz é **diagonalizável** e a diagonalização é dada por , onde:

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