Encontre A^-1, onde
A=(ccc 1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a inversa da matriz A = 1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2 , que é:
Isso está dentro do conteúdo de matrizes e suas inversas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante da matriz e usar a fórmula da matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot x^2 - x^2 cdot 2) - 0 cdot (1 cdot x^2 - x^2 cdot 2) + x cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 2) é invertível. Isso acontece se o determinante de det(A) = 1 cdot (x^2 - 2x^2) - 0 + x cdot (2 - 2) = 1 cdot (-x^2) + 0 + x cdot 0 = -x^2 for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Simplificando:

Passo 3

Como o determinante precisa ser diferente de zero, isso significa que . Agora que sabemos que é invertível quando , vamos seguir para encontrar a inversa.

Passo 4

A fórmula para a matriz inversa é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta , que é a transposta da matriz de cofatores de .

Passo 5

Vamos calcular a matriz de cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada cofator M11 = det 1 & x^2 2 & x^2 = 1 cdot x^2 - x^2 cdot 2 = -x^2 é dado por:
M12 = det 1 & x^2 2 & x^2 = 1 cdot x^2 - x^2 cdot 2 = -x^2
onde M13 = det 1 & 1 2 & 2 = 1 cdot 2 - 1 cdot 2 = 0 é o menor complementar do elemento M21 = det 0 & x 2 & x^2 = 0 cdot x^2 - x cdot 2 = -2x .
Calculando cada menor complementar:
M22 = det 1 & x 2 & x^2 = 1 cdot x^2 - x cdot 2 = x^2 - 2x
M23 = det 1 & 0 2 & 2 = 1 cdot 2 - 0 cdot 2 = 2
M31 = det 0 & x 1 & x^2 = 0 cdot x^2 - x cdot 1 = -x
M32 = det 1 & x 1 & x^2 = 1 cdot x^2 - x cdot 1 = x^2 - x
M33 = det 1 & 0 1 & 1 = 1 cdot 1 - 0 cdot 1 = 1
C = (-1)^1+1(-x^2) & (-1)^1+2(-x^2) & (-1)^1+3(0) (-1)^2+1(-2x) & (-1)^2+2(x^2-2x) & (-1)^2+3(2) (-1)^3+1(-x) & (-1)^3+2(x^2-x) & (-1)^3+3(1) = -x^2 & x^2 & 0 2x & x^2-2x & -2 -x & -(x^2-x) & 1
Agora, aplicamos os sinais de cofatores:

Passo 6

A matriz adjunta adj(A) = -x^2 & 2x & -x x^2 & x^2-2x & -(x^2-x) 0 & -2 & 1 é a transposta da matriz de cofatores:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1-x^2 cdot -x^2 & 2x & -x x^2 & x^2-2x & -(x^2-x) 0 & -2 & 1
Simplificando:
A^-1 = 1 & -2xx^2 & xx^2 -1 & 2x - x^2x^2 & x^2-xx^2 0 & 2x^2 & -1x^2 = 1 & -2x & 1x -1 & 2x - 1 & 1 - 1x 0 & 2x^2 & -1x^2

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 1 & -2x & 1x -1 & 2x - 1 & 1 - 1x 0 & 2x^2 & -1x^2 é:

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