Sejam lang<=u, vrang<= o produto interno euclidiano em R^2 gerado por [ll2 & 1 1 & 1] e u=(2,1), v=(-1,1), w=(0,-1). Calcule as expressões dadas.
(b) lang<=v, wrang<=

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de Álgebra Linear que envolve produto interno em . O que a gente precisa fazer é calcular o produto interno entre os vetores e usando a definição que envolve uma matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como calcular o produto interno usando uma matriz. Se tivermos uma matriz lang<= x, y rang<= = x^T A y que define o produto interno, então para dois vetores e , o produto interno é dado por:
Isso significa que a gente vai multiplicar o vetor transposto pela matriz e depois pelo vetor .

Passo 3

Agora, vamos identificar os vetores e a matriz que a gente tem:
  • A matriz A = 2 & 1 1 & 1 é:
  • O vetor é
  • O vetor é

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula do produto interno com esses vetores. Primeiro, escrevemos os vetores como matrizes coluna:
v = -1 1, w = 0 -1
Então, calculamos v^T A = -1 & 1 2 & 1 1 & 1 = (-1)(2) + (1)(1) & (-1)(1) + (1)(1) = -2 + 1 & -1 + 1 = -1 & 0 :
lang<= v, w rang<= = -1 & 0 0 -1 = (-1)(0) + (0)(-1) = 0 + 0 = 0
Agora, multiplicamos isso pelo vetor :

Resposta

O produto interno é igual a .

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