Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção das superfícies:
(a) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para a curva que é a interseção das duas superfícies dadas: e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e parametrizações de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação . Essa é a equação de um círculo no plano xy com raio 2 e centro na origem. Uma maneira comum de parametrizar um círculo é usando funções trigonométricas seno e cosseno.
Então, podemos escrever:
Aqui, é o parâmetro que varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
Passo 3
Agora, sabemos que . Já temos expressões para e , então basta substituir essas expressões na equação de :
Passo 4
A expressão pode ser simplificada usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Portanto,
Então, podemos escrever:
Resposta
A parametrização da curva de interseção das superfícies e é dada por: