Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção das superfícies:
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma parametrização para a curva que é a interseção das duas superfícies dadas: e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e parametrizações de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação . Essa é a equação de um círculo no plano xy com raio 2 e centro na origem. Uma maneira comum de parametrizar um círculo é usando funções trigonométricas seno e cosseno.
Então, podemos escrever:
Aqui, é o parâmetro que varia de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Agora, sabemos que . Já temos expressões para e , então basta substituir essas expressões na equação de :

Passo 4

A expressão pode ser simplificada usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Portanto,
Então, podemos escrever:

Resposta

A parametrização da curva de interseção das superfícies e é dada por:
Onde varia de 0 a .

Exercícios relacionados

Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(a) .
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(a) .
Calcule
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(b) .