Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o traço da curva parametrizada por
no intervalo
. Aqui, estamos trabalhando com curvas parametrizadas, que são representações de curvas no plano usando uma função que depende de um parâmetro, no caso,
. Para resolver, vamos entender como os componentes
e
se comportam quando
varia de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os pontos da curva para alguns valores de
dentro do intervalo
. Isso nos ajuda a visualizar como a curva se comporta.
-
Para
: Então, o ponto é. -
Para
: Então, o ponto é aproximadamente. -
Para
: Então, o ponto é aproximadamente.
Passo 3
Agora, vamos analisar como
varia conforme
aumenta de 0 a 1. A função exponencial
cresce de forma contínua e crescente. Isso significa que, à medida que
aumenta, o valor de
também aumenta.
Paralelamente,
é uma função linear que cresce de 0 a 1 à medida que
varia de 0 a 1. Portanto, tanto
quanto
aumentam enquanto
varia no intervalo dado.
Passo 4
Com os pontos calculados e o comportamento das funções
e
entendidos, podemos esboçar o traço da curva. Plotando os pontos
,
e
e ligando-os suavemente, observamos que a curva começa no ponto
, sobe de maneira exponencial até chegar em
.
A curva mostrará um crescimento acentuado em
à medida que
aumenta linearmente, formando uma trajetória que se afasta mais rapidamente no eixo
conforme
aumenta.
Resposta
O traço da curva parametrizada por
no intervalo
é uma trajetória que começa no ponto
, passa por
e termina em
, exibindo um crescimento exponencial no eixo
enquanto
cresce linearmente.
Exercícios relacionados
Calcule
Encontre uma parametrização para a curva dada pela interseção das superfícies:
(a) .
(a)
Esboce o traço da curva parametrizada por
. Compare com a curva
do Exemplo visto em sala.
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(a)
(a)