Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(b) gamma(t) = (e^t, t), t in [0, 1].

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o traço da curva parametrizada por no intervalo . Aqui, estamos trabalhando com curvas parametrizadas, que são representações de curvas no plano usando uma função que depende de um parâmetro, no caso, . Para resolver, vamos entender como os componentes e se comportam quando varia de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os pontos da curva para alguns valores de dentro do intervalo . Isso nos ajuda a visualizar como a curva se comporta.
  • Para :
    Então, o ponto é .
  • Para :
    Então, o ponto é aproximadamente .
  • Para :
    Então, o ponto é aproximadamente .

Passo 3

Agora, vamos analisar como varia conforme aumenta de 0 a 1. A função exponencial cresce de forma contínua e crescente. Isso significa que, à medida que aumenta, o valor de também aumenta.
Paralelamente, é uma função linear que cresce de 0 a 1 à medida que varia de 0 a 1. Portanto, tanto quanto aumentam enquanto varia no intervalo dado.

Passo 4

Com os pontos calculados e o comportamento das funções e entendidos, podemos esboçar o traço da curva. Plotando os pontos , e e ligando-os suavemente, observamos que a curva começa no ponto , sobe de maneira exponencial até chegar em .
A curva mostrará um crescimento acentuado em à medida que aumenta linearmente, formando uma trajetória que se afasta mais rapidamente no eixo conforme aumenta.

Resposta

O traço da curva parametrizada por no intervalo é uma trajetória que começa no ponto , passa por e termina em , exibindo um crescimento exponencial no eixo enquanto cresce linearmente.

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