Escreva uma equação da reta r que passa pelo ponto A = (3, 2, 1) e que é paralela aos planos alpha e beta de equações
alpha: x - 2 y + z = 3 e beta: 5 x - 4 y + z = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da reta que passa pelo ponto e que é paralela aos planos e . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre retas e planos no espaço tridimensional. Precisamos entender como garantir que a reta seja paralela a ambos os planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular ao plano. As equações dos planos e nos dão esses vetores normais diretamente pelos coeficientes de , e .
Para o plano , o vetor normal é .
Para o plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, queremos que a reta seja paralela a ambos os planos. Isso significa que o vetor diretor da reta deve ser perpendicular aos vetores normais dos planos e .
Matematicamente, isso se traduz nas seguintes condições:

Passo 4

Vamos chamar o vetor diretor da reta de . Então, temos duas equações:
Precisamos resolver esse sistema para encontrar os componentes de .

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar :
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 6

Agora temos expressões para e em termos de :
Podemos escolher (pois a direção é o que importa, não o tamanho), então:

Passo 7

Com o vetor diretor e o ponto , podemos escrever a equação da reta em forma paramétrica:
Onde é um parâmetro real.

Resposta

A equação da reta que passa pelo ponto e é paralela aos planos e é dada por:

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