Encontre uma parametrização para a curva que representa a interseção das superfícies:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma parametrização da curva que é a interseção das duas superfícies:
e
. Vamos trabalhar com geometria analítica e álgebra para resolver isso. Precisamos combinar essas equações para achar uma relação que descreva todos os pontos da curva de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a expressão de
da primeira equação na segunda. A primeira equação nos dá
, então vamos substituir isso na segunda equação:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
para entender melhor a forma dessa equação. Para o
:
E para o
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 4
Percebemos que essa é a equação de um círculo com centro em
e raio
. Para parametrizar esse círculo, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno. Vamos definir um parâmetro
que varia de
a
:
Passo 5
Agora que temos
e
em termos de
, vamos encontrar
usando a primeira equação
:
Expandindo:
Simplificando usando
:
Resposta
A parametrização da curva de interseção é: