Encontre uma parametrização para a curva que representa a interseção das superfícies:
z = x^2 + y^2 e 2x - 4y - z - 1 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma parametrização da curva que é a interseção das duas superfícies: e . Vamos trabalhar com geometria analítica e álgebra para resolver isso. Precisamos combinar essas equações para achar uma relação que descreva todos os pontos da curva de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a expressão de da primeira equação na segunda. A primeira equação nos dá , então vamos substituir isso na segunda equação:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis e para entender melhor a forma dessa equação. Para o :
E para o :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 4

Percebemos que essa é a equação de um círculo com centro em e raio . Para parametrizar esse círculo, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno. Vamos definir um parâmetro que varia de a :

Passo 5

Agora que temos e em termos de , vamos encontrar usando a primeira equação :
Expandindo:
Simplificando usando :

Resposta

A parametrização da curva de interseção é:

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