Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais passo a passo. A gente tem duas equações que descrevem como as variáveis e mudam com o tempo . O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem, e para resolver isso, vamos precisar encontrar as soluções que satisfazem ambas as equações simultaneamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais organizada:
Isso nos ajuda a visualizar melhor o que precisamos resolver.

Passo 3

Agora, vamos resolver uma das equações para uma das variáveis e substituir na outra. Vamos começar resolvendo a segunda equação para :
Mas, para facilitar, vamos usar métodos de sistemas lineares, especificamente encontrando os autovalores e autovetores.

Passo 4

Escrevemos o sistema na forma matricial:

[
\frac{d}{dt}



]
Chamamos a matriz de coeficientes de :

Passo 5

Encontramos os autovalores ( ) resolvendo o determinante |A - I| = 0:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 6

Com o autovalor , encontramos o autovetor correspondente resolvendo :

[


]
Isso nos dá . Podemos escolher .

Passo 7

Como temos um autovalor de multiplicidade 2, precisamos encontrar uma solução adicional. A solução geral será:

[

(c_1 + c_2 t)
e^{\lambda t}

]
Substituindo :

[

(c_1 + c_2 t)
e^{t}

]

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para mostrar que a solução do problema de valor inicial
é dada pela fórmula de variação das constantes
Encontre quando , .
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
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