Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais passo a passo. A gente tem duas equações que descrevem como as variáveis e mudam com o tempo . O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas de equações diferenciais lineares de primeira ordem, e para resolver isso, vamos precisar encontrar as soluções que satisfazem ambas as equações simultaneamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais organizada:
Isso nos ajuda a visualizar melhor o que precisamos resolver.
Passo 3
Agora, vamos resolver uma das equações para uma das variáveis e substituir na outra. Vamos começar resolvendo a segunda equação para :
Mas, para facilitar, vamos usar métodos de sistemas lineares, especificamente encontrando os autovalores e autovetores.
Passo 4
Escrevemos o sistema na forma matricial:
[
\frac{d}{dt}
]
Chamamos a matriz de coeficientes de :
Passo 5
Encontramos os autovalores () resolvendo o determinante |A - I| = 0:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 6
Com o autovalor , encontramos o autovetor correspondente resolvendo :
[
]
Isso nos dá . Podemos escolher .
Passo 7
Como temos um autovalor de multiplicidade 2, precisamos encontrar uma solução adicional. A solução geral será:
[
(c_1 + c_2 t)
e^{\lambda t}
]
Substituindo :
[
(c_1 + c_2 t)
e^{t}
]
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.