Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo com a condição inicial . Isso tudo faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente das que são separáveis, ou seja, dá pra separar as variáveis e para resolver. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar tudo com de um lado e do outro. Lembre-se que é a derivada de em relação a , ou seja, .
Então, temos:
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e :

Passo 3

Agora, a gente tem as variáveis separadas:
Do lado esquerdo está tudo em termos de :
E do lado direito, tudo em termos de :
Vamos integrar os dois lados para encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos integrar cada lado:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:

Passo 5

Igualando as integrais e juntando as constantes:
onde é uma constante qualquer.

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de .
Substituindo e :

Passo 7

Com o valor de encontrado, a solução particular fica:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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.
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