Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo
com a condição inicial
. Isso tudo faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente das que são separáveis, ou seja, dá pra separar as variáveis
e
para resolver. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar tudo com
de um lado e
do outro. Lembre-se que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Então, temos:
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e
:
Passo 3
Agora, a gente tem as variáveis separadas:
Do lado esquerdo está tudo em termos de
:
E do lado direito, tudo em termos de
:
Vamos integrar os dois lados para encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos integrar cada lado:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Passo 5
Igualando as integrais e juntando as constantes:
onde
é uma constante qualquer.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
.
Substituindo
e
:
Passo 7
Com o valor de
encontrado, a solução particular fica:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
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Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para:
.
Encontre
e
em termos das derivadas parciais
e
para: