Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. A equação que temos é:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a depende de uma combinação de e . Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar uma substituição que simplifica as coisas. Vamos precisar usar o conceito de substituição .
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição . Isso implica que:
Agora, vamos derivar em relação a :
Essa expressão nos ajuda a reescrever a equação original em termos de e .
Passo 3
Substituímos e na equação original:
Simplificando o lado direito:
Agora, subtraímos de ambos os lados:
Passo 4
Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por e por :
Agora, temos uma forma que podemos integrar dos dois lados.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo com frações parciais: