Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que é homogênea. A equação que temos é:
Isso significa que a taxa de variação de em relação a depende de uma combinação de e . Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar uma substituição que simplifica as coisas. Vamos precisar usar o conceito de substituição .

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso implica que:
Agora, vamos derivar em relação a :
Essa expressão nos ajuda a reescrever a equação original em termos de e .

Passo 3

Substituímos e na equação original:
Simplificando o lado direito:
Agora, subtraímos de ambos os lados:

Passo 4

Vamos separar as variáveis para facilitar a integração. Dividimos ambos os lados por e por :
Agora, temos uma forma que podemos integrar dos dois lados.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. Primeiro, o lado esquerdo com frações parciais:
Resolvendo para e :
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:
Agora, integramos:
Isso resulta em:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Podemos reescrever como , então:
Resolvendo para :
Lembrando que :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações homogêneas de primeira ordem:
Resolva as seguintes equações de Bernoulli:
Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Encontre e em termos das derivadas parciais e para:
.