Encontre os perfis de temperatura para os seguinte casos:
(b) Parede plana com geração de calor e com temperatura prescrita em ambas as faces;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os perfis de temperatura em uma parede plana que gera calor internamente, com a temperatura já conhecida em ambas as faces da parede. Vamos usar os conceitos de condução de calor com geração interna para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação básica da condução de calor com geração interna. Quando temos uma geração de calor uniforme dentro de um material, a equação de condução de calor estacionária é:
d^2 Tdx^2 + q''k = 0
Aqui:
  • é a temperatura,
  • é a coordenada ao longo da parede,
  • é a geração de calor por unidade de volume,
  • é a condutividade térmica do material.

Passo 3

Vamos integrar essa equação para encontrar a distribuição de temperatura. Primeiro, integramos uma vez em relação a dTdx = -q''kx + C1 :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Integrando novamente, obtemos a expressão para a temperatura T(x) = -q''2kx^2 + C1 x + C2 :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes T(0) = -q''2k(0)^2 + C1 (0) + C2 = T0 Rightarrow C2 = T0 e T(L) = -q''2kL^2 + C1 L + T0 = TL . Suponha que a parede tem espessura , com temperaturas prescritas em e em .
Aplicando :
Aplicando :

Passo 6

Resolvendo para -q''2kL^2 + C1 L + T0 = TL C1 L = TL - T0 + q''2kL^2 C1 = TL - T0L + q'' L2k :

Passo 7

Substituindo T(x) = -q''2kx^2 + ( TL - T0L + q'' L2k ) x + T0 e na expressão para :

Resposta

A distribuição de temperatura na parede é dada por:
T(x) = T0 + ( TL - T0L + q'' L2k ) x - q''2kx^2

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