Encontre o plano tangente ao gráfico das seguintes funções, se existir, nos pontos dados (2pts) z = x * e^(6*x + 3*y) ; P2(1, 1, f(1, 1)) e P1(1, 0, f(1, 0)).

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar o plano tangente ao gráfico da função em dois pontos específicos: e . Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente, vamos precisar das derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos e . Isso significa calcular e .
Para :
Para :
Então, os pontos são:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação do plano tangente em cada direção.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Aqui, é tratado como constante:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais nos pontos e .
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais conhecidas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Vamos aplicar isso para cada ponto.
Para :
Simplificando:
Fatorando :
Para :
Simplificando:
Fatorando :

Resposta

Os planos tangentes são:
  • Em :
  • Em :

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