Encontre o plano tangente ao gráfico das seguintes funções, se existir, nos pontos dados (2pts)
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer. A questão pede para encontrar o plano tangente ao gráfico da função
em dois pontos específicos:
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente, vamos precisar das derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos
e
. Isso significa calcular
e
.
Para
:
Para
:
Então, os pontos são:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dão a inclinação do plano tangente em cada direção.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Aqui,
é tratado como constante:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais conhecidas, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto
é:
Vamos aplicar isso para cada ponto.
Para
:
Simplificando:
Fatorando
:
Para
:
Simplificando:
Fatorando
:
Resposta
Os planos tangentes são:
- Em
:
- Em
:
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Encontre sobre a curva
, o ponto mais próximo do ponto
.
Encontrar um valor aproximado para
Obtenha a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.
Encontre o plano tangente ao gráfico das seguintes funções, se existir, nos pontos dados (2pts)