Obtenha a equação da reta tangente à curva y = x * raiz(x + 1) no ponto de abscissa x0 = 3.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa . Isso vai envolver um pouco de cálculo, especialmente derivadas, porque para achar a reta tangente, precisamos saber a inclinação da curva nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Isso significa que vamos calcular quando .
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada vai nos dar a inclinação da reta tangente no ponto .
A função que temos é , que pode ser reescrita como para facilitar a derivação usando a regra do produto.

Passo 4

Vamos aplicar a regra do produto para derivar . A regra do produto diz que se , então .
Aqui, e .
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Agora, aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar isso para facilitar:

Passo 5

Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor dela em para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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