Obtenha a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa . Isso vai envolver um pouco de cálculo, especialmente derivadas, porque para achar a reta tangente, precisamos saber a inclinação da curva nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Isso significa que vamos calcular quando .
Então, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada vai nos dar a inclinação da reta tangente no ponto .
A função que temos é , que pode ser reescrita como para facilitar a derivação usando a regra do produto.
Passo 4
Vamos aplicar a regra do produto para derivar . A regra do produto diz que se , então .
Aqui, e .
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Agora, aplicando a regra do produto:
Vamos simplificar isso para facilitar:
Passo 5
Agora que temos a derivada, vamos calcular o valor dela em para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto.
Então, a inclinação da reta tangente é .
Passo 6
Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação: