Encontre o polinômio característico, os autovalores da matriz e as bases dos autoespaços das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico, os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz dada. Isso tudo faz parte da área de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar determinantes, resolver equações polinomiais e encontrar vetores que satisfaçam certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico é dado por:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 5
Calculando os determinantes menores:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Passo 7
Expandindo a expressão:
Passo 8
Agora, somando os termos semelhantes:
Então, o polinômio característico é:
Passo 9
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação :
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:
Passo 10
Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando possíveis valores inteiros, vemos que é uma raiz:
Então, é um autovalor.
Passo 11
Agora, vamos dividir o polinômio por para encontrar as outras raízes:
Usando divisão sintética ou polinomial, temos:
Passo 12
Agora, resolvemos :
Usando a fórmula quadrática:
Então,
Passo 13
Portanto, os autovalores são:
Passo 14
Agora, vamos encontrar as bases dos autoespaços para cada autovalor. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos que:
é
Então, a base do autoespaço é:
Para :
Resolvendo, encontramos que:
Então, a base do autoespaço é:
Para :
Resolvendo, obtemos que:
Então, a base do autoespaço é:
Resposta
O polinômio característico da matriz é . Os autovalores são , e . As bases dos autoespaços são: