Encontre o polinômio característico, os autovalores da matriz e as bases dos autoespaços das matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico, os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz dada. Isso tudo faz parte da área de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar determinantes, resolver equações polinomiais e encontrar vetores que satisfaçam certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico é dado por:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 5

Calculando os determinantes menores:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do determinante:

Passo 7

Expandindo a expressão:

Passo 8

Agora, somando os termos semelhantes:
Então, o polinômio característico é:

Passo 9

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação :
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 10

Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando possíveis valores inteiros, vemos que é uma raiz:
Então, é um autovalor.

Passo 11

Agora, vamos dividir o polinômio por para encontrar as outras raízes:
Usando divisão sintética ou polinomial, temos:

Passo 12

Agora, resolvemos :
Usando a fórmula quadrática:
Então,

Passo 13

Portanto, os autovalores são:

Passo 14

Agora, vamos encontrar as bases dos autoespaços para cada autovalor. Para cada , resolvemos .
Para :
Resolvendo o sistema, obtemos que:
é
Então, a base do autoespaço é:
Para :
Resolvendo, encontramos que:
Então, a base do autoespaço é:
Para :
Resolvendo, obtemos que:
Então, a base do autoespaço é:

Resposta

O polinômio característico da matriz é . Os autovalores são , e . As bases dos autoespaços são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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Seja a transformação linear dada por
Determine:
(a) a matriz da transformação em relação às bases canônicas
Verifique se os vetores dados são autovetores das matrizes por meio da multiplicação e encontre um autovalor correspondente: