Encontre o polinômio característico, os autovalores da matriz e as bases dos autoespaços das matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico, os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz dada. Isso tudo faz parte da área de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar determinantes, resolver equações polinomiais e encontrar vetores que satisfaçam certas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) é dado por:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Agora, vamos encontrar as bases dos autoespaços para cada autovalor. Para cada A - I = 3 & 0 & 1 -2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 , resolvemos x2 é livre, x1 = -13x3, x3 livre .
Para -1/3 1 0 , -1/3 0 1 :
A - 2I = 2 & 0 & 1 -2 & -1 & 0 -2 & 0 & -1
Resolvendo o sistema, obtemos que:
x1 = -12x3, x2 = 0, x3 livre é
Então, a base do autoespaço é:
-1/2 0 1
Para A - 3I = 1 & 0 & 1 -2 & -2 & 0 -2 & 0 & -2 :
x1 = -x3, x2 = 0, x3 livre
Resolvendo, encontramos que:
-1 0 1
Então, a base do autoespaço é:
Para :
Resolvendo, obtemos que:
Então, a base do autoespaço é:
Resposta
O polinômio característico da matriz é -13 1 0 , -13 0 1 . Os autovalores são -12 0 1 , -1 0 1 e . As bases dos autoespaços são: