Encontre o polinômio característico, os autovalores da matriz e as bases dos autoespaços das matrizes:
[ccc4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico, os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz dada. Isso tudo faz parte da área de Álgebra Linear, mais especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar usar determinantes, resolver equações polinomiais e encontrar vetores que satisfaçam certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico p(lambda) = det(A - lambda I) é dado por:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 4 - lambda & 0 & 1 -2 & 1 - lambda & 0 -2 & 0 & 1 - lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (4 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 0 & 1 - lambda - 0 + 1 cdot det -2 & 1 - lambda -2 & 0

Passo 5

Calculando os determinantes menores:
det 1 - lambda & 0 0 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2
det -2 & 1 - lambda -2 & 0 = (-2)(0) - (-2)(1 - lambda) = 2(1 - lambda)

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)(1 - lambda)^2 + 2(1 - lambda)
= (4 - lambda)(1 - 2lambda + lambda^2) + 2(1 - lambda)

Passo 7

Expandindo a expressão:
= 4(1 - 2lambda + lambda^2) - lambda(1 - 2lambda + lambda^2) + 2 - 2lambda
= 4 - 8lambda + 4lambda^2 - lambda + 2lambda^2 - lambda^3 + 2 - 2lambda

Passo 8

Agora, somando os termos semelhantes:
= -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6

Passo 9

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação -lambda^3 + 6lambda^2 - 11lambda + 6 = 0 :
lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para facilitar:

Passo 10

Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando possíveis valores inteiros, vemos que 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 é uma raiz:
Então, é um autovalor.

Passo 11

Agora, vamos dividir o polinômio por lambda^3 - 6lambda^2 + 11lambda - 6 = (lambda - 1)(lambda^2 - 5lambda + 6) para encontrar as outras raízes:
Usando divisão sintética ou polinomial, temos:

Passo 12

Agora, resolvemos lambda = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12 :
Usando a fórmula quadrática:
lambda = 3 e lambda = 2
Então,

Passo 13

Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 3

Passo 14

Agora, vamos encontrar as bases dos autoespaços para cada autovalor. Para cada A - I = 3 & 0 & 1 -2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 , resolvemos x2 é livre, x1 = -13x3, x3 livre .
Para -1/3 1 0 , -1/3 0 1 :
A - 2I = 2 & 0 & 1 -2 & -1 & 0 -2 & 0 & -1
Resolvendo o sistema, obtemos que:
x1 = -12x3, x2 = 0, x3 livre é
Então, a base do autoespaço é:
-1/2 0 1
Para A - 3I = 1 & 0 & 1 -2 & -2 & 0 -2 & 0 & -2 :
x1 = -x3, x2 = 0, x3 livre
Resolvendo, encontramos que:
-1 0 1
Então, a base do autoespaço é:
Para :
Resolvendo, obtemos que:
Então, a base do autoespaço é:

Resposta

O polinômio característico da matriz é -13 1 0 , -13 0 1 . Os autovalores são -12 0 1 , -1 0 1 e . As bases dos autoespaços são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

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