Determine:
(a) a matriz da transformação em relação às bases canônicas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . O objetivo dessa parte do exercício (a) é descobrir a matriz que representa essa transformação quando a gente considera as bases canônicas nos espaços de partida e chegada. Ou seja, estamos trabalhando com as bases padrão para e para . Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como transformar os vetores da base de partida usando e organizar os resultados em uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação em cada um dos vetores da base . A base tem dois vetores: e . Vamos ver o que acontece com cada um deles.
Passo 3
Aplicando no primeiro vetor da base , que é :
Então, a imagem de por é .
Passo 4
Agora, aplicando no segundo vetor da base , que é :
Então, a imagem de por é .
Passo 5
Agora que temos as imagens dos vetores da base , vamos organizar essas imagens como colunas em uma matriz. Cada coluna da matriz representa a transformação de um vetor da base do espaço de partida.
Então, a matriz fica assim:
Resposta
A matriz da transformação em relação às bases canônicas é: