Seja T: R^2 R^3 a transformação linear dada por
T(x, y)=(x+2 y, y,-x+3 y)
Determine:
(a) a matriz da transformação em relação às bases canônicas
B1=(1,0),(0,1) e B2=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . O objetivo dessa parte do exercício (a) é descobrir a matriz que representa essa transformação quando a gente considera as bases canônicas nos espaços de partida e chegada. Ou seja, estamos trabalhando com as bases padrão para e para . Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como transformar os vetores da base de partida usando e organizar os resultados em uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação em cada um dos vetores da base . A base tem dois vetores: e . Vamos ver o que acontece com cada um deles.

Passo 3

Aplicando T(1, 0) = (1 + 2 times 0, ; 0, ; -1 + 3 times 0) = (1, 0, -1) no primeiro vetor da base , que é :
Então, a imagem de por é .

Passo 4

Agora, aplicando T(0, 1) = (0 + 2 times 1, ; 1, ; -0 + 3 times 1) = (2, 1, 3) no segundo vetor da base , que é :
Então, a imagem de por é .

Passo 5

Agora que temos as imagens dos vetores da base [T]B1^B2 = 1 & 2 0 & 1 -1 & 3 , vamos organizar essas imagens como colunas em uma matriz. Cada coluna da matriz representa a transformação de um vetor da base do espaço de partida.
Então, a matriz fica assim:

Resposta

A matriz da transformação [T]B1^B2 = 1 & 2 0 & 1 -1 & 3 em relação às bases canônicas é:

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