Sabendo que uma transformação linear T: R^2 R^3 satisfaz
T(1,0)=(2,0,1) e T(0,1)=(0,1,0)
encontre T(5,-2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear que transforma vetores do plano 2D para o espaço 3D. Sabemos como age nos vetores básicos e . Nosso objetivo é descobrir como transforma o vetor .

Passo 2

Como T(a, b) = a cdot T(1,0) + b cdot T(0,1) é uma transformação linear, podemos expressar qualquer vetor em como combinação linear dos vetores e . Isso significa que:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao vetor T(5, -2) = 5 cdot T(1,0) + (-2) cdot T(0,1) . Aqui, e . Substituindo na expressão acima:

Passo 4

Agora, sabemos que:
T(1,0) = (2, 0, 1) e T(0,1) = (0, 1, 0)
Vamos substituir esses valores na equação:
T(5, -2) = 5 cdot (2, 0, 1) + (-2) cdot (0, 1, 0)

Passo 5

Vamos fazer as multiplicações escalares:
5 cdot (2, 0, 1) = (10, 0, 5)
-2 cdot (0, 1, 0) = (0, -2, 0)

Passo 6

Agora, somamos os dois vetores resultantes:
(10, 0, 5) + (0, -2, 0) = (10 + 0, 0 + (-2), 5 + 0) = (10, -2, 5)

Resposta

Portanto, .

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