Encontre o polinômio que interpola os três últimos pontos, usando sistema Lineares.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: você precisa encontrar um polinômio que passe exatamente por três pontos específicos usando sistemas lineares. Isso faz parte da matéria de Interpolação Polinomial, um tópico de Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações baseado nas coordenadas desses pontos e resolver para os coeficientes do polinômio. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio que interpola três pontos geralmente é de segundo grau, ou seja, tem a forma:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Imagine que temos três pontos: , e . Para cada ponto, substituímos e na equação do polinômio:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Essas são nossas três equações.

Passo 4

Agora, temos um sistema linear com três equações e três incógnitas ( , e ). Podemos representar esse sistema na forma matricial:
Ou, de forma mais compacta:

$$

$$

Passo 5

Para resolver esse sistema, podemos usar métodos como eliminação de Gauss, substituição ou regra de Cramer. Vou escolher a eliminação de Gauss para simplificar.
Vamos supor que temos os seguintes pontos para facilitar: , e .
Substituindo na equação, temos:

Passo 6

Agora, escrevemos o sistema:
Vamos eliminar subtraindo a primeira equação das outras duas:
  • Segunda Equação - Primeira Equação:
  • Terceira Equação - Primeira Equação:
Agora, temos um sistema com duas equações:

Passo 7

Vamos resolver esse novo sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de :
Agora, subtraímos essa nova equação da segunda equação:

Passo 8

Com , substituímos na equação :

Passo 9

Agora que temos e , substituímos na primeira equação original para achar :

Resposta

O polinômio que interpola os três pontos dados é:

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T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
0,9999 0,9998 0,9997 0,9991 0,9982 0,9971 0,9957 0,9941 0,9902
Calcule:
a) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) utilizando um polinômio de grau 3 .
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Um polinômio de grau 1 , ou seja,
Converta os seguintes números decimais para sua forma binária.
;