Os resultados da densidade da água em várias temparaturas são apresentados na tabela a seguir:
T
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0,9999
0,9998
0,9997
0,9991
0,9982
0,9971
0,9957
0,9941
0,9902
Calcule:
a) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) utilizando um polinômio de grau 3 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a densidade da água, representada por , em várias temperaturas diferentes. A matéria que vamos usar aqui é a interpolação polinomial, que é uma técnica para estimar valores entre os pontos que já conhecemos. No caso, a gente vai precisar construir polinômios de grau 2 e 3 para calcular e , respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de interpolação. Interpolação polinomial é um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos conhecidos. O grau do polinômio indica quantos pontos vamos usar: um polinômio de grau 2 precisa de 3 pontos, e um de grau 3 precisa de 4 pontos.
Passo 3
Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar usando um polinômio de grau 2. Isso significa que vamos usar 3 pontos da tabela para construir o polinômio.
Passo 4
Escolher quais pontos usar é importante para obter uma boa aproximação. Como queremos estimar o valor em , vamos escolher os pontos que estão mais próximos desse valor. Olhando a tabela:
,
,
,
Vamos usar esses três pontos: (5, 0,9998), (10, 0,9997) e (15, 0,9991).
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula de Lagrange para construir o polinômio de grau 2. A fórmula geral é:
Onde são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Para nosso caso, , e os pontos são , e .
Passo 6
Vamos calcular cada :
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Agora, vamos construir o polinômio :
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Para o terceiro termo:
Passo 9
Agora, vamos substituir no polinômio :
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 10
Somando tudo:
Resposta
a) O valor estimado de usando um polinômio de grau 2 é aproximadamente 0,9994.