Os resultados da densidade da água
em várias temparaturas são apresentados na tabela a seguir:
T | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0,9999 | 0,9998 | 0,9997 | 0,9991 | 0,9982 | 0,9971 | 0,9957 | 0,9941 | 0,9902 |
Calcule:
a) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) utilizando um polinômio de grau 3 .
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a densidade da água, representada por
, em várias temperaturas diferentes. A matéria que vamos usar aqui é a interpolação polinomial, que é uma técnica para estimar valores entre os pontos que já conhecemos. No caso, a gente vai precisar construir polinômios de grau 2 e 3 para calcular
e
, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de interpolação. Interpolação polinomial é um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos conhecidos. O grau do polinômio indica quantos pontos vamos usar: um polinômio de grau 2 precisa de 3 pontos, e um de grau 3 precisa de 4 pontos.
Passo 3
Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar
usando um polinômio de grau 2. Isso significa que vamos usar 3 pontos da tabela para construir o polinômio.
Passo 4
Escolher quais pontos usar é importante para obter uma boa aproximação. Como queremos estimar o valor em
, vamos escolher os pontos que estão mais próximos desse valor. Olhando a tabela:
-
, -
, -
,
Vamos usar esses três pontos: (5, 0,9998), (10, 0,9997) e (15, 0,9991).
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula de Lagrange para construir o polinômio de grau 2. A fórmula geral é:
Onde
são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Para nosso caso,
, e os pontos são
,
e
.
Passo 6
Vamos calcular cada
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos construir o polinômio
:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Para o terceiro termo:
Passo 9
Agora, vamos substituir
no polinômio
:
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 10
Somando tudo:
Resposta
a) O valor estimado de
usando um polinômio de grau 2 é aproximadamente 0,9994.