Os resultados da densidade da água rho(T) em várias temparaturas são apresentados na tabela a seguir:
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
rho(T) 0,9999 0,9998 0,9997 0,9991 0,9982 0,9971 0,9957 0,9941 0,9902
Calcule:
a) rho(13) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) rho(27) utilizando um polinômio de grau 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a densidade da água, representada por rho(T), em várias temperaturas diferentes. A matéria que vamos usar aqui é a interpolação polinomial, que é uma técnica para estimar valores entre os pontos que já conhecemos. No caso, a gente vai precisar construir polinômios de grau 2 e 3 para calcular rho(13) e rho(27), respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de interpolação. Interpolação polinomial é um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos conhecidos. O grau do polinômio indica quantos pontos vamos usar: um polinômio de grau 2 precisa de 3 pontos, e um de grau 3 precisa de 4 pontos.

Passo 3

Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar rho(13) usando um polinômio de grau 2. Isso significa que vamos usar 3 pontos da tabela para construir o polinômio.

Passo 4

Escolher quais pontos usar é importante para obter uma boa aproximação. Como queremos estimar o valor em T = 13°C, vamos escolher os pontos que estão mais próximos desse valor. Olhando a tabela:
  • T = 10°C, rho(10) = 0,9997
  • T = 15°C, rho(15) = 0,9991
  • T = 5°C, rho(5) = 0,9998
Vamos usar esses três pontos: (5, 0,9998), (10, 0,9997) e (15, 0,9991).

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula de Lagrange para construir o polinômio de grau 2. A fórmula geral é:
P(T) = sumi=0^n rho(Ti) cdot Li(T)
Onde Li(T) são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Li(T) = prodsubstack0 <= j <= n j neq i T - TjTi - Tj
Para nosso caso, n = 2, e os pontos são (T0, rho(T0)) = (5, 0,9998), (T1, rho(T1)) = (10, 0,9997) e (T2, rho(T2)) = (15, 0,9991).

Passo 6

Vamos calcular cada Li(T):
Para i = 0:
L0(T) = (T - T1)(T - T2)(T0 - T1)(T0 - T2) = (T - 10)(T - 15)(5 - 10)(5 - 15) = (T - 10)(T - 15)(-5)(-10) = (T - 10)(T - 15)50
Para i = 1:
L1(T) = (T - T0)(T - T2)(T1 - T0)(T1 - T2) = (T - 5)(T - 15)(10 - 5)(10 - 15) = (T - 5)(T - 15)5 times (-5) = (T - 5)(T - 15)-25
Para i = 2:
L2(T) = (T - T0)(T - T1)(T2 - T0)(T2 - T1) = (T - 5)(T - 10)(15 - 5)(15 - 10) = (T - 5)(T - 10)10 times 5 = (T - 5)(T - 10)50

Passo 7

Agora, vamos construir o polinômio P(T):
P(T) = rho(T0) cdot L0(T) + rho(T1) cdot L1(T) + rho(T2) cdot L2(T)
Substituindo os valores:
P(T) = 0,9998 cdot (T - 10)(T - 15)50 + 0,9997 cdot (T - 5)(T - 15)-25 + 0,9991 cdot (T - 5)(T - 10)50

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
0,9998 cdot (T - 10)(T - 15)50
Para o segundo termo:
0,9997 cdot (T - 5)(T - 15)-25 = -0,9997 cdot (T - 5)(T - 15)25
Para o terceiro termo:
0,9991 cdot (T - 5)(T - 10)50

Passo 9

Agora, vamos substituir T = 13°C no polinômio P(T):
P(13) = 0,9998 cdot (13 - 10)(13 - 15)50 + (-0,9997) cdot (13 - 5)(13 - 15)25 + 0,9991 cdot (13 - 5)(13 - 10)50
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
0,9998 cdot (3)(-2)50 = 0,9998 cdot -650 = 0,9998 cdot (-0,12) = -0,119976
Segundo termo:
-0,9997 cdot (8)(-2)25 = -0,9997 cdot -1625 = -0,9997 cdot (-0,64) = 0,639808
Terceiro termo:
0,9991 cdot (8)(3)50 = 0,9991 cdot 2450 = 0,9991 cdot 0,48 = 0,479568

Passo 10

Somando tudo:
P(13) = -0,119976 + 0,639808 + 0,479568 = 0,9994

Resposta

a) O valor estimado de rho(13) usando um polinômio de grau 2 é aproximadamente 0,9994.

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