Os resultados da densidade da água em várias temparaturas são apresentados na tabela a seguir:
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
0,9999 0,9998 0,9997 0,9991 0,9982 0,9971 0,9957 0,9941 0,9902
Calcule:
a) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) utilizando um polinômio de grau 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a densidade da água, representada por , em várias temperaturas diferentes. A matéria que vamos usar aqui é a interpolação polinomial, que é uma técnica para estimar valores entre os pontos que já conhecemos. No caso, a gente vai precisar construir polinômios de grau 2 e 3 para calcular e , respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de interpolação. Interpolação polinomial é um método para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos conhecidos. O grau do polinômio indica quantos pontos vamos usar: um polinômio de grau 2 precisa de 3 pontos, e um de grau 3 precisa de 4 pontos.

Passo 3

Vamos começar com a parte a), onde precisamos encontrar usando um polinômio de grau 2. Isso significa que vamos usar 3 pontos da tabela para construir o polinômio.

Passo 4

Escolher quais pontos usar é importante para obter uma boa aproximação. Como queremos estimar o valor em , vamos escolher os pontos que estão mais próximos desse valor. Olhando a tabela:
  • ,
  • ,
  • ,
Vamos usar esses três pontos: (5, 0,9998), (10, 0,9997) e (15, 0,9991).

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula de Lagrange para construir o polinômio de grau 2. A fórmula geral é:
Onde são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Para nosso caso, , e os pontos são , e .

Passo 6

Vamos calcular cada :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos construir o polinômio :
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Para o terceiro termo:

Passo 9

Agora, vamos substituir no polinômio :
Calculando cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:

Passo 10

Somando tudo:

Resposta

a) O valor estimado de usando um polinômio de grau 2 é aproximadamente 0,9994.

Exercícios relacionados

Considere a tabela:
x 1 3 4 5
0 6 24 60
a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.
Considere os sistemas:
a)
b)
Em ambos:
a) Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito.
b) Se for possível, resolva por Gauss-Seidel
c) Verifique se o critério de linhas ou colunas é satisfeito.
d) Se for possível, resolva por Gauss-Jacobi.
Obs: Para os exercícios do item anterior utilize . Para aproximação inicial utilize à escolha, desde que não seja a solução exata.
Encontre o polinômio interpolador que interpola os três primeiros pontos, usando a Forma de Lagrange (Separe em duas etapas: i) Cálculo dos operadores, ii) Cálculo do polinômio interpolador).
Encontre o polinômio que interpola os três últimos pontos, usando sistema Lineares.