Encontre o polinômio interpolador que interpola os três primeiros pontos, usando a Forma de Lagrange (Separe em duas etapas: i) Cálculo dos operadores, ii) Cálculo do polinômio interpolador).

Passo 1

Então, você quer encontrar o polinômio que passa pelos três primeiros pontos dados usando a Forma de Lagrange. Isso faz parte da matéria de interpolação polinomial, especificamente usando o método de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar calcular os operadores de Lagrange e, em seguida, montar o polinômio interpolador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os operadores de Lagrange. Esses operadores são os polinômios básicos que, multiplicados pelos valores correspondentes das funções nos pontos dados, formam o polinômio interpolador. Para três pontos, teremos três operadores: , e .

Passo 3

Para calcular cada operador de Lagrange, usamos a fórmula:
Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^2 x - xjxi - xj
Isso significa que, para cada , multiplicamos as frações para todos os diferentes de .

Passo 4

Vamos calcular L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) :
L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2)
Da mesma forma, calculamos L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) e :

Passo 5

Agora que temos os operadores de Lagrange, podemos montar o polinômio interpolador. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
P(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x)
Onde e são os valores da função nos pontos e , respectivamente.

Passo 6

Substituindo os operadores de Lagrange na fórmula do polinômio, temos:
P(x) = y0 ( (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) ) + y1 ( (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) ) + y2 ( (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) )

Resposta

O polinômio interpolador usando a Forma de Lagrange é:
P(x) = y0 ( (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) ) + y1 ( (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) ) + y2 ( (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) )

Exercícios relacionados