Encontre o polinômio interpolador que interpola os três primeiros pontos, usando a Forma de Lagrange (Separe em duas etapas: i) Cálculo dos operadores, ii) Cálculo do polinômio interpolador).

Passo 1

Então, você quer encontrar o polinômio que passa pelos três primeiros pontos dados usando a Forma de Lagrange. Isso faz parte da matéria de interpolação polinomial, especificamente usando o método de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar calcular os operadores de Lagrange e, em seguida, montar o polinômio interpolador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os operadores de Lagrange. Esses operadores são os polinômios básicos que, multiplicados pelos valores correspondentes das funções nos pontos dados, formam o polinômio interpolador. Para três pontos, teremos três operadores: , e .

Passo 3

Para calcular cada operador de Lagrange, usamos a fórmula:
Isso significa que, para cada , multiplicamos as frações para todos os diferentes de .

Passo 4

Vamos calcular :
Da mesma forma, calculamos e :

Passo 5

Agora que temos os operadores de Lagrange, podemos montar o polinômio interpolador. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
Onde e são os valores da função nos pontos e , respectivamente.

Passo 6

Substituindo os operadores de Lagrange na fórmula do polinômio, temos:

Resposta

O polinômio interpolador usando a Forma de Lagrange é:

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Os resultados da densidade da água em várias temparaturas são apresentados na tabela a seguir:
T 0 5 10 15 20 25 30 35 40
0,9999 0,9998 0,9997 0,9991 0,9982 0,9971 0,9957 0,9941 0,9902
Calcule:
a) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) utilizando um polinômio de grau 3 .
Considere a tabela:
x 1 3 4 5
0 6 24 60
a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.
Encontre o polinômio que interpola os três últimos pontos, usando sistema Lineares.
Para as questões 7 e 8 , resolva trocando a função integrando por:
Um polinômio de grau 1 , ou seja,