Encontre o polinômio interpolador que interpola os três primeiros pontos, usando a Forma de Lagrange (Separe em duas etapas: i) Cálculo dos operadores, ii) Cálculo do polinômio interpolador).
Passo 1
Então, você quer encontrar o polinômio que passa pelos três primeiros pontos dados usando a Forma de Lagrange. Isso faz parte da matéria de interpolação polinomial, especificamente usando o método de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar calcular os operadores de Lagrange e, em seguida, montar o polinômio interpolador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os operadores de Lagrange. Esses operadores são os polinômios básicos que, multiplicados pelos valores correspondentes das funções nos pontos dados, formam o polinômio interpolador. Para três pontos, teremos três operadores:
,
e
.
Passo 3
Para calcular cada operador de Lagrange, usamos a fórmula:
Isso significa que, para cada
, multiplicamos as frações
para todos os
diferentes de
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Da mesma forma, calculamos
e
:
Passo 5
Agora que temos os operadores de Lagrange, podemos montar o polinômio interpolador. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
Onde
e
são os valores da função nos pontos
e
, respectivamente.
Passo 6
Substituindo os operadores de Lagrange na fórmula do polinômio, temos:
Resposta
O polinômio interpolador usando a Forma de Lagrange é:
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Os resultados da densidade da água
em várias temparaturas são apresentados na tabela a seguir:
T | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0,9999 | 0,9998 | 0,9997 | 0,9991 | 0,9982 | 0,9971 | 0,9957 | 0,9941 | 0,9902 |
Calcule:
a) utilizando um polinômio de grau 2 .
b) utilizando um polinômio de grau 3 .
a)
b)
Considere a tabela:
x | 1 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|
|
0 | 6 | 24 | 60 |
a) Determine o polinômio na forma de Lagrange, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.
b) Determine o polinômio na forma de Newton, sobre todos os pontos.
Encontre o polinômio que interpola os três últimos pontos, usando sistema Lineares.
Para as questões 7 e 8 , resolva
trocando a função integrando por:
Um polinômio de grau 1 , ou seja,
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