Encontre o polinômio interpolador que interpola os três primeiros pontos, usando a Forma de Lagrange (Separe em duas etapas: i) Cálculo dos operadores, ii) Cálculo do polinômio interpolador).
Passo 1
Então, você quer encontrar o polinômio que passa pelos três primeiros pontos dados usando a Forma de Lagrange. Isso faz parte da matéria de interpolação polinomial, especificamente usando o método de Lagrange. Para resolver isso, vamos precisar calcular os operadores de Lagrange e, em seguida, montar o polinômio interpolador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os operadores de Lagrange. Esses operadores são os polinômios básicos que, multiplicados pelos valores correspondentes das funções nos pontos dados, formam o polinômio interpolador. Para três pontos, teremos três operadores:
,
e
.
Passo 3
Para calcular cada operador de Lagrange, usamos a fórmula:
Isso significa que, para cada
, multiplicamos as frações
para todos os
diferentes de
.
Passo 4
Vamos calcular
:
Da mesma forma, calculamos
e
:
Passo 5
Agora que temos os operadores de Lagrange, podemos montar o polinômio interpolador. A fórmula geral do polinômio de Lagrange é:
Onde
e
são os valores da função nos pontos
e
, respectivamente.
Passo 6
Substituindo os operadores de Lagrange na fórmula do polinômio, temos:
Resposta
O polinômio interpolador usando a Forma de Lagrange é: