Para as questões 7 e 8 , resolva trocando a função integrando por:
Um polinômio de grau 1 , ou seja,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral , mas ao invés de usar a função exponencial original, a gente vai substituir por um polinômio de primeiro grau, ou seja, .
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como aproximar funções usando polinômios de grau 1 e como calcular integrais de polinômios simples.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau 1. Um polinômio de primeiro grau tem a forma geral:
Onde e são constantes que determinam a inclinação e o intercepto do polinômio, respectivamente.
Nossa tarefa é encontrar os valores de e que melhor aproximam a função original no intervalo de a .
Passo 3
Para encontrar e , podemos usar o método dos mínimos quadrados, que minimiza o erro entre a função original e o polinômio aproximado. Mas para simplificar, vamos escolher dois pontos no intervalo e ajustar o polinômio para passar por esses pontos.
Vamos escolher os pontos e .
Primeiro, calculamos o valor da função original nesses pontos:
Para :
Para :
Passo 4
Agora, temos dois pontos: e .
Vamos usar esses pontos para encontrar e no polinômio .
Primeiro, para :
Segundo, para :
Resolvendo para :
Então, o polinômio aproximado é:
Passo 5
Agora que temos o polinômio , vamos integrar essa função no intervalo de a :
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Passo 6
Integrando em relação a :
Integrando em relação a :
Então, a integral completa fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integra��ão.