Para as questões 7 e 8 , resolva integral0^3 2 e^-(x / 2)^2 d x trocando a função integrando por:
Um polinômio de grau 1 , ou seja, integral0^3 P1(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral , mas ao invés de usar a função exponencial original, a gente vai substituir por um polinômio de primeiro grau, ou seja, .
Aqui, estamos lidando com cálculo integral e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar entender como aproximar funções usando polinômios de grau 1 e como calcular integrais de polinômios simples.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau 1. Um polinômio de primeiro grau tem a forma geral:
P1(x) = ax + b
Onde e são constantes que determinam a inclinação e o intercepto do polinômio, respectivamente.
Nossa tarefa é encontrar os valores de e que melhor aproximam a função original no intervalo de a .

Passo 3

Para encontrar 2 e^-(0 / 2)^2 = 2 e^0 = 2 e 2 e^-(3 / 2)^2 = 2 e^-2.25 approx 2 times 0.1054 approx 0.2108 , podemos usar o método dos mínimos quadrados, que minimiza o erro entre a função original e o polinômio aproximado. Mas para simplificar, vamos escolher dois pontos no intervalo e ajustar o polinômio para passar por esses pontos.
Vamos escolher os pontos e .
Primeiro, calculamos o valor da função original nesses pontos:
Para :
Para :

Passo 4

Agora, temos dois pontos: 2 = a times 0 + b implies b = 2 e 0.2108 = a times 3 + 2 .
Vamos usar esses pontos para encontrar a times 3 = 0.2108 - 2 implies a times 3 = -1.7892 implies a approx -0.5964 e P1(x) = -0.5964x + 2 no polinômio .
Primeiro, para :
Segundo, para :
Resolvendo para :
Então, o polinômio aproximado é:

Passo 5

Agora que temos o polinômio integral0^3 (-0.5964x + 2) dx , vamos integrar essa função no intervalo de a :
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 6

Integrando integral -0.5964x dx = -0.5964 times x^22 = -0.2982x^2 em relação a integral 2 dx = 2x :
-0.2982x^2 + 2x gr|0^3
Integrando em relação a :
Então, a integral completa fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integra��ão.
Para -0.2982 times 3^2 + 2 times 3 = -0.2982 times 9 + 6 = -2.6838 + 6 = 3.3162 :
-0.2982 times 0^2 + 2 times 0 = 0 + 0 = 0
Para :

Resposta

Subtraindo os valores obtidos:
3.3162 - 0 = 3.3162
Então, o valor aproximado da integral é 3.3162.

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