(Equipe 2) Encontre uma solução do sistema não linear a seguir, com erro de 10^(-2).
{ x^2 + x y^3 = 9 ; 3 x^2 y - y^3 = 4 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações não linear:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve álgebra para resolver sistemas de equações não lineares e métodos numéricos para encontrar aproximações das soluções com um erro de 10^(-2). Vamos precisar manipular as equações, possivelmente isolando uma variável e substituindo na outra, além de iterar para refinar as soluções até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos pegar a primeira equação:
Podemos tentar isolar x:
Isso não fica muito simples para isolar x diretamente, então vamos tentar expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar x^2:

Passo 3

Agora, vamos usar essa expressão para substituir x^2 na segunda equação:
Substituindo x^2:
Simplificando:
Rearranjando para termos de x:
Então,

Passo 4

Agora temos uma expressão para x em termos de y. Vamos substituir essa expressão de x na primeira equação para obter uma equação somente em termos de y. Porém, isso resultará em uma equação complicada. Portanto, vamos adotar um método iterativo para aproximar os valores de x e y.
Vamos supor valores iniciais para y e calcular x, depois refinar esses valores até que a precisão desejada ( 10^(-2)) seja alcançada.
Escolhamos inicialmente .
Calculando x:
Agora, usamos esse valor de x para atualizar y usando a segunda equação:
Calculando:
Isso mostra que nossa suposição inicial não está muito boa. Vamos tentar ajustar os valores.

Passo 5

Vamos tentar um valor menor para y. Suponha .
Calculando x:
Usando esse x na segunda equação:
Ainda não estamos próximos. Vamos tentar com .
Calculando x:
Usando esse x na segunda equação:
Ainda precisamos ajustar. Vamos tentar .

Passo 6

Calculando x com :
Agora, substituindo x na segunda equação:
Ainda não chegamos perto. Vamos tentar .

Passo 7

Calculando x com :
Substituindo x na segunda equação:
Ainda precisamos ajustar. Vamos tentar um valor intermediário, como .

Passo 8

Calculando x com :
Substituindo x na segunda equação:
Percebemos que os valores estão aumentando. Vamos tentar valores menores para y, como .

Passo 9

Calculando x com :
Substituindo x na segunda equação:
Ainda não estamos perto. Vamos ajustar nossa abordagem.

Passo 10

Observamos que os valores estão oscilando muito, então vamos tentar usar o método de Newton-Raphson para obter uma aproximação melhor.
Primeiro, definimos as funções do sistema:
Calculamos as derivadas parciais:
Escolhemos um palpite inicial, por exemplo, , .
Calculamos as funções e as derivadas no ponto inicial:
Montamos a matriz Jacobiana:
Calculamos o determinante de J:
Calculamos as atualizações:
Atualizamos os valores:

Resposta

Aproximadamente, uma solução do sistema com erro de 10^(-2) é:

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