(Equipe 2) Encontre uma solução do sistema não linear a seguir, com erro de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações não linear:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve álgebra para resolver sistemas de equações não lineares e métodos numéricos para encontrar aproximações das soluções com um erro de
. Vamos precisar manipular as equações, possivelmente isolando uma variável e substituindo na outra, além de iterar para refinar as soluções até atingir a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos pegar a primeira equação:
Podemos tentar isolar
:
Isso não fica muito simples para isolar
diretamente, então vamos tentar expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, vamos usar essa expressão para substituir
na segunda equação:
Substituindo
:
Simplificando:
Rearranjando para termos de
:
Então,
Passo 4
Agora temos uma expressão para
em termos de
. Vamos substituir essa expressão de
na primeira equação para obter uma equação somente em termos de
. Porém, isso resultará em uma equação complicada. Portanto, vamos adotar um método iterativo para aproximar os valores de
e
.
Vamos supor valores iniciais para
e calcular
, depois refinar esses valores até que a precisão desejada (
) seja alcançada.
Escolhamos inicialmente
.
Calculando
:
Agora, usamos esse valor de
para atualizar
usando a segunda equação:
Calculando:
Isso mostra que nossa suposição inicial não está muito boa. Vamos tentar ajustar os valores.
Passo 5
Vamos tentar um valor menor para
. Suponha
.
Calculando
:
Usando esse
na segunda equação:
Ainda não estamos próximos. Vamos tentar com
.
Calculando
:
Usando esse
na segunda equação:
Ainda precisamos ajustar. Vamos tentar
.
Passo 6
Calculando
com
:
Agora, substituindo
na segunda equação:
Ainda não chegamos perto. Vamos tentar
.
Passo 7
Calculando
com
:
Substituindo
na segunda equação:
Ainda precisamos ajustar. Vamos tentar um valor intermediário, como
.
Passo 8
Calculando
com
:
Substituindo
na segunda equação:
Percebemos que os valores estão aumentando. Vamos tentar valores menores para
, como
.
Passo 9
Calculando
com
:
Substituindo
na segunda equação:
Ainda não estamos perto. Vamos ajustar nossa abordagem.
Passo 10
Observamos que os valores estão oscilando muito, então vamos tentar usar o método de Newton-Raphson para obter uma aproximação melhor.
Primeiro, definimos as funções do sistema:
Calculamos as derivadas parciais:
Escolhemos um palpite inicial, por exemplo,
,
.
Calculamos as funções e as derivadas no ponto inicial:
Montamos a matriz Jacobiana:
Calculamos o determinante de
:
Calculamos as atualizações:
Atualizamos os valores:
Resposta
Aproximadamente, uma solução do sistema com erro de
é:
Exercícios relacionados
Resolva os sistemas:
Encontre o polinômio interpolador de Lagrange da função f que relaciona os seguintes valores:
X | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
0,5 | 2 |
|
3 |
(Equipe 3) Encontre o polinômio linear de mínimos quadrados para os dados da tabela:
x | y |
---|---|
0,3 | 1,8 |
2,75 | 1,9 |
4,5 | 3,1 |
5,95 | 3,9 |
7,8 | 3,3 |
Verifique se o sistema abaixo é determinado: