(Equipe 2) Encontre uma solução do sistema não linear a seguir, com erro de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações não linear:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve álgebra para resolver sistemas de equações não lineares e métodos numéricos para encontrar aproximações das soluções com um erro de . Vamos precisar manipular as equações, possivelmente isolando uma variável e substituindo na outra, além de iterar para refinar as soluções até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar isolar uma das variáveis em uma das equações. Vamos pegar a primeira equação:
Podemos tentar isolar :
Isso não fica muito simples para isolar diretamente, então vamos tentar expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar :

Passo 3

Agora, vamos usar essa expressão para substituir na segunda equação:
Substituindo :
Simplificando:
Rearranjando para termos de :
Então,

Passo 4

Agora temos uma expressão para em termos de . Vamos substituir essa expressão de na primeira equação para obter uma equação somente em termos de . Porém, isso resultará em uma equação complicada. Portanto, vamos adotar um método iterativo para aproximar os valores de e .
Vamos supor valores iniciais para e calcular , depois refinar esses valores até que a precisão desejada ( ) seja alcançada.
Escolhamos inicialmente .
Calculando :
Agora, usamos esse valor de para atualizar usando a segunda equação:
Calculando:
Isso mostra que nossa suposição inicial não está muito boa. Vamos tentar ajustar os valores.

Passo 5

Vamos tentar um valor menor para . Suponha .
Calculando :
Usando esse na segunda equação:
Ainda não estamos próximos. Vamos tentar com .
Calculando :
Usando esse na segunda equação:
Ainda precisamos ajustar. Vamos tentar .

Passo 6

Calculando com :
Agora, substituindo na segunda equação:
Ainda não chegamos perto. Vamos tentar .

Passo 7

Calculando com :
Substituindo na segunda equação:
Ainda precisamos ajustar. Vamos tentar um valor intermediário, como .

Passo 8

Calculando com :
Substituindo na segunda equação:
Percebemos que os valores estão aumentando. Vamos tentar valores menores para , como .

Passo 9

Calculando com :
Substituindo na segunda equação:
Ainda não estamos perto. Vamos ajustar nossa abordagem.

Passo 10

Observamos que os valores estão oscilando muito, então vamos tentar usar o método de Newton-Raphson para obter uma aproximação melhor.
Primeiro, definimos as funções do sistema:
Calculamos as derivadas parciais:
Escolhemos um palpite inicial, por exemplo, , .
Calculamos as funções e as derivadas no ponto inicial:
Montamos a matriz Jacobiana:
Calculamos o determinante de :
Calculamos as atualizações:
Atualizamos os valores:

Resposta

Aproximadamente, uma solução do sistema com erro de é:

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X -1 0 1 2
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x y
0,3 1,8
2,75 1,9
4,5 3,1
5,95 3,9
7,8 3,3
Verifique se o sistema abaixo é determinado: