Considere f(x)=sin (pi x4) aproxime por um polinômio de grau 3 no intervalo (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente aproximar a função por um polinômio de grau 3 no intervalo de a . Para fazer isso, vamos usar a polinomial de Taylor, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a aproximar funções complicadas por polinômios mais simples. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e usar esses resultados para montar o polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a polinomial de Taylor. Ela é dada por:
Pn(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + dots + f^(n)(a)n!(x - a)^n
No nosso caso, como queremos um polinômio de grau 3, vamos até a terceira derivada. Vamos escolher porque o intervalo é de 0 a 1, e isso facilita os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas da função f'(x) = pi4 cos(pi x4) e avaliá-las em f'(0) = pi4 cos(0) = pi4 cdot 1 = pi4 .
Primeira derivada:
f''(x) = -(pi4)^2 sin(pi x4)
f''(0) = -(pi4)^2 sin(0) = 0
Segunda derivada:
f'''(x) = -(pi4)^3 cos(pi x4)
f'''(0) = -(pi4)^3 cos(0) = -(pi4)^3
Terceira derivada:

Passo 4

Agora que temos todos os valores necessários, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
P3(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2 + f'''(0)6x^3
Sabemos que P3(x) = 0 + pi4x + 02x^2 + -(pi4)^36x^3 , então:
P3(x) = pi4x - pi^36 cdot 64x^3 = pi4x - pi^3384x^3
Simplificando:

Resposta

A aproximação da função P3(x) = pi4x - pi^3384x^3 por um polinômio de grau 3 no intervalo é:

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