Considere
aproxime por um polinômio de grau 3 no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente aproximar a função
por um polinômio de grau 3 no intervalo de
a
. Para fazer isso, vamos usar a polinomial de Taylor, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a aproximar funções complicadas por polinômios mais simples. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e usar esses resultados para montar o polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a polinomial de Taylor. Ela é dada por:
No nosso caso, como queremos um polinômio de grau 3, vamos até a terceira derivada. Vamos escolher
porque o intervalo é de 0 a 1, e isso facilita os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas da função
e avaliá-las em
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 4
Agora que temos todos os valores necessários, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Sabemos que
, então:
Simplificando:
Resposta
A aproximação da função
por um polinômio de grau 3 no intervalo
é: