Considere aproxime por um polinômio de grau 3 no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente aproximar a função por um polinômio de grau 3 no intervalo de a . Para fazer isso, vamos usar a polinomial de Taylor, que é uma ferramenta da matemática que nos ajuda a aproximar funções complicadas por polinômios mais simples. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e usar esses resultados para montar o polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a polinomial de Taylor. Ela é dada por:
No nosso caso, como queremos um polinômio de grau 3, vamos até a terceira derivada. Vamos escolher porque o intervalo é de 0 a 1, e isso facilita os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas da função e avaliá-las em .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:

Passo 4

Agora que temos todos os valores necessários, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Sabemos que , então:
Simplificando:

Resposta

A aproximação da função por um polinômio de grau 3 no intervalo é:

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