Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite
e também encontrar um ponto onde essa função é contínua, justificando. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite. Olha só a expressão dentro da raiz:
. A gente pode simplificar isso dividindo o numerador e o denominador por
:
Agora, conforme
vai para
, o termo
vai ficando cada vez menor, se aproximando de zero. Então, a expressão dentro da raiz fica:
Portanto, o limite é 1.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se ela estiver definida nesse ponto, e o limite quando a gente se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
A função que temos é
. Para ela ser contínua, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, e o denominador
nunca é zero (porque
é sempre positivo e, somando 3, nunca dá zero).
Então, a função está definida para todo número real
. Isso significa que ela é contínua em todos os pontos do seu domínio. Por exemplo, vamos escolher
:
Como a função está bem definida em
, e não há “saltos” ou “buracos” nesse ponto, podemos afirmar que a função é contínua em
.
Resposta
O limite é 1 quando
tende a
, e a função é contínua em todo ponto real, por exemplo, no ponto
.
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio de Taylor de
grau, centrado em
para a função
. Faça os gráficos de
e suas aproximações de Taylor
na janela retangular
por
.
Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para
próximo a
, vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que
e suas primeiras
derivadas tenham os mesmos valores em
que
e suas primeiras
derivadas. Derivando repetidamente e fazendo
, mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde
. O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau
de
centrado em
.
Especifique o dominio da função.
Nos Exercícios de 13 a 32, ache o limite.