Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite e também encontrar um ponto onde essa função é contínua, justificando. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite. Olha só a expressão dentro da raiz: . A gente pode simplificar isso dividindo o numerador e o denominador por :
Agora, conforme vai para , o termo vai ficando cada vez menor, se aproximando de zero. Então, a expressão dentro da raiz fica:
Portanto, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se ela estiver definida nesse ponto, e o limite quando a gente se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
A função que temos é . Para ela ser contínua, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, e o denominador nunca é zero (porque é sempre positivo e, somando 3, nunca dá zero).
Então, a função está definida para todo número real . Isso significa que ela é contínua em todos os pontos do seu domínio. Por exemplo, vamos escolher :
Como a função está bem definida em , e não há “saltos” ou “buracos” nesse ponto, podemos afirmar que a função é contínua em .

Resposta

O limite é 1 quando tende a , e a função é contínua em todo ponto real, por exemplo, no ponto .

Exercícios relacionados

Encontre o polinômio de Taylor de grau, centrado em para a função . Faça os gráficos de e suas aproximações de Taylor na janela retangular por .
Em vez de ficarmos satisfeitos com aproximações lineares ou quadráticas para próximo a , vamos tentar encontrar aproximações melhores por polinômios de graus mais altos. Procuramos por um polinômio de grau
tal que e suas primeiras derivadas tenham os mesmos valores em que e suas primeiras derivadas. Derivando repetidamente e fazendo , mostre que essas condições estão satisfeitas se
e em geral
onde . O polinômio resultante
é denominado polinômio de Taylor de grau de centrado em .
, sabendo que o gráfico de é uma semireta e tal que
Especifique o dominio da função.
Nos Exercícios de 13 a 32, ache o limite.