lim x infty^+ raizx^2x^2+3
Dê um exemplo de um ponto onde a função seja contínua, justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular o limite lim x infty^+ raizx^2x^2+3 e também encontrar um ponto onde essa função é contínua, justificando. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite. Olha só a expressão dentro da raiz: x^2x^2+3. A gente pode simplificar isso dividindo o numerador e o denominador por x^2:
x^2x^2+3 = 11 + 3x^2
Agora, conforme x vai para +infty, o termo 3x^2 vai ficando cada vez menor, se aproximando de zero. Então, a expressão dentro da raiz fica:
raiz11 + 0 = raiz1 = 1
Portanto, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se ela estiver definida nesse ponto, e o limite quando a gente se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto.
A função que temos é f(x) = raizx^2x^2+3. Para ela ser contínua, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, e o denominador x^2+3 nunca é zero (porque x^2 é sempre positivo e, somando 3, nunca dá zero).
Então, a função está definida para todo número real x. Isso significa que ela é contínua em todos os pontos do seu domínio. Por exemplo, vamos escolher x = 0:
f(0) = raiz0^20^2+3 = raiz03 = 0
Como a função está bem definida em x = 0, e não há “saltos” ou “buracos” nesse ponto, podemos afirmar que a função é contínua em x = 0.

Resposta

O limite é 1 quando x tende a +infty, e a função é contínua em todo ponto real, por exemplo, no ponto x = 0.

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