(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função
, expandido em torno de
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente das séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a quarta ordem e avaliar cada uma delas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função suave em torno de um ponto específico. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
é:
Como
, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
até a quarta ordem e avaliá-las em
.
Primeira Derivada:
Segunda Derivada:
Terceira Derivada:
Quarta Derivada:
Passo 4
Agora que temos as derivadas avaliadas em
, vamos montar os polinômios de Taylor para cada grau solicitado.
Polinômio de Taylor de Grau 1:
Polinômio de Taylor de Grau 2:
Polinômio de Taylor de Grau 3:
Polinômio de Taylor de Grau 4:
Resposta
Os polinômios de Taylor para
em torno de
são:
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função
expandido em torno de
. Desenhe o gráfico da função
e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
©
©
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função
em torno do ponto
. Determine um limitante superior do erro para essa aproximação quando
.
(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para
, em torno do ponto
. (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para
desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto
.)