(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função , expandido em torno de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função , expandido em torno de . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente das séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a quarta ordem e avaliar cada uma delas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função suave em torno de um ponto específico. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de é:
Como , a fórmula simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem e avaliá-las em .
Primeira Derivada:
Segunda Derivada:
Terceira Derivada:
Quarta Derivada:

Passo 4

Agora que temos as derivadas avaliadas em , vamos montar os polinômios de Taylor para cada grau solicitado.
Polinômio de Taylor de Grau 1:
Polinômio de Taylor de Grau 2:
Polinômio de Taylor de Grau 3:
Polinômio de Taylor de Grau 4:

Resposta

Os polinômios de Taylor para em torno de são:

Exercícios relacionados

Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função expandido em torno de . Desenhe o gráfico da função e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
©
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função em torno do ponto . Determine um limitante superior do erro para essa aproximação quando .
(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para , em torno do ponto . (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto .)