(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função f(x) = e^(x^2), expandido em torno de a = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 2, 3 e 4 para a função , expandido em torno de . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente das séries de Taylor. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a quarta ordem e avaliar cada uma delas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função suave em torno de um ponto específico. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de é:
Como , a fórmula simplifica para:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de até a quarta ordem e avaliá-las em .
Primeira Derivada:
Segunda Derivada:
Terceira Derivada:
Quarta Derivada:

Passo 4

Agora que temos as derivadas avaliadas em , vamos montar os polinômios de Taylor para cada grau solicitado.
Polinômio de Taylor de Grau 1:
Polinômio de Taylor de Grau 2:
Polinômio de Taylor de Grau 3:
Polinômio de Taylor de Grau 4:

Resposta

Os polinômios de Taylor para em torno de são:

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