(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para f(t) = 1 / (1 + t²), em torno do ponto a = 0. (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para 1 / (1 - x) desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto x = -t^2.)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: queremos encontrar uma expansão em série de Taylor para a função em torno do ponto . Para isso, vamos usar o conhecimento da expansão de Taylor para e aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expansão de Taylor para a função em torno de . A série de Taylor é dada por:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, observe que a função que queremos expandir, , pode ser reescrita de uma forma que se assemelha à função da série que conhecemos. Vamos reescrever da seguinte maneira:
Aqui, percebemos que na nossa série original pode ser substituído por .

Passo 4

Com essa substituição, substituímos por na série de Taylor original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar cada termo da série:

Passo 6

Portanto, a expansão em série de Taylor para em torno de é:

Resposta

A expansão em série de Taylor para em torno de é:

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