(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para
, em torno do ponto
. (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para
desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto
.)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: queremos encontrar uma expansão em série de Taylor para a função
em torno do ponto
. Para isso, vamos usar o conhecimento da expansão de Taylor para
e aplicar uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expansão de Taylor para a função
em torno de
. A série de Taylor é dada por:
Essa série é válida para
.
Passo 3
Agora, observe que a função que queremos expandir,
, pode ser reescrita de uma forma que se assemelha à função da série que conhecemos. Vamos reescrever
da seguinte maneira:
Aqui, percebemos que
na nossa série original pode ser substituído por
.
Passo 4
Com essa substituição, substituímos
por
na série de Taylor original:
Passo 5
Agora, vamos simplificar cada termo da série:
Passo 6
Portanto, a expansão em série de Taylor para
em torno de
é:
Resposta
A expansão em série de Taylor para
em torno de
é: