Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
©
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente criar uma fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
expandido em torno de
para a função
. Isso envolve a matéria de séries de Taylor e, mais especificamente, a expansão binomial. Vamos precisar lembrar como funciona a série de Taylor e como aplicar a expansão binomial para funções desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função suave, construída a partir das derivadas da função no ponto de expansão, que nesse caso é
. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
para uma função
em torno de
é:
Aqui,
representa a
-ésima derivada de
avaliada em 0, e
é o fatorial de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à função
. Essa função é um caso da expansão binomial, que nos permite escrever
como uma série infinita quando
e
é qualquer número real. A fórmula da série binomial é:
Onde
é o coeficiente binomial generalizado, definido por:
Passo 4
Para o nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Como queremos o polinômio de Taylor de grau
, vamos truncar a série após o termo de grau
. Assim, a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para
é:
Resposta
A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para
expandido em torno de
é:
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
(d)
(d)
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
(a)
(a)
Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função
expandido em torno de
. Desenhe o gráfico da função
e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.