Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente criar uma fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau expandido em torno de para a função . Isso envolve a matéria de séries de Taylor e, mais especificamente, a expansão binomial. Vamos precisar lembrar como funciona a série de Taylor e como aplicar a expansão binomial para funções desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função suave, construída a partir das derivadas da função no ponto de expansão, que nesse caso é . A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau para uma função em torno de é:
Aqui, representa a -ésima derivada de avaliada em 0, e é o fatorial de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à função . Essa função é um caso da expansão binomial, que nos permite escrever como uma série infinita quando e é qualquer número real. A fórmula da série binomial é:
Onde é o coeficiente binomial generalizado, definido por:

Passo 4

Para o nosso caso, . Então, substituindo na fórmula, temos:
Como queremos o polinômio de Taylor de grau , vamos truncar a série após o termo de grau . Assim, a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para é:

Resposta

A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para expandido em torno de é:

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Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto para as seguintes funções:
(d)
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto para as seguintes funções:
(a)
Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função expandido em torno de . Desenhe o gráfico da função e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função , expandido em torno de .