Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função f(x) = sen(x) expandido em torno de a = 0. Desenhe o gráfico da função f(x) e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo sobre polinômios de Taylor. A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 3 e 5 da função expandido em torno de . Para isso, vamos precisar conhecer a definição de polinômios de Taylor e saber calcular derivadas da função seno.

Passo 2

Primeiro, o que é um polinômio de Taylor? É uma maneira de aproximar uma função usando um polinômio que passa por um certo ponto e utiliza as derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para a função em torno de é:

Passo 3

Como queremos expandir em torno de , isso simplifica nossa fórmula para:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :

Passo 5

Agora, vamos montar os polinômios de Taylor de grau 1, 3 e 5 usando os valores das derivadas:
Grau 1:
Grau 3:
Grau 5:

Passo 6

Então, resumindo, os polinômios de Taylor são:

Passo 7

Para comparar, se fizermos o gráfico da função junto com esses polinômios, veremos que conforme aumentamos o grau do polinômio, a aproximação fica melhor perto de . O polinômio de grau 1 é uma reta, o de grau 3 já começa a curvar-se e o de grau 5 se ajusta ainda mais à forma da seno.

Resposta

Os polinômios de Taylor de em torno de são:

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