Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função
expandido em torno de
. Desenhe o gráfico da função
e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo sobre polinômios de Taylor. A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 3 e 5 da função
expandido em torno de
. Para isso, vamos precisar conhecer a definição de polinômios de Taylor e saber calcular derivadas da função seno.
Passo 2
Primeiro, o que é um polinômio de Taylor? É uma maneira de aproximar uma função usando um polinômio que passa por um certo ponto
e utiliza as derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
para a função
em torno de
é:
Passo 3
Como queremos expandir em torno de
, isso simplifica nossa fórmula para:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
Passo 5
Agora, vamos montar os polinômios de Taylor de grau 1, 3 e 5 usando os valores das derivadas:
Grau 1:
Grau 3:
Grau 5:
Passo 6
Então, resumindo, os polinômios de Taylor são:
Passo 7
Para comparar, se fizermos o gráfico da função
junto com esses polinômios, veremos que conforme aumentamos o grau do polinômio, a aproximação fica melhor perto de
. O polinômio de grau 1 é uma reta, o de grau 3 já começa a curvar-se e o de grau 5 se ajusta ainda mais à forma da seno.
Resposta
Os polinômios de Taylor de
em torno de
são:
Exercícios relacionados
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
©
©
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
(d)
(d)
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função
em torno do ponto
. Determine um limitante superior do erro para essa aproximação quando
.