Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função expandido em torno de . Desenhe o gráfico da função e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo sobre polinômios de Taylor. A questão pede para encontrar os polinômios de Taylor de grau 1, 3 e 5 da função expandido em torno de . Para isso, vamos precisar conhecer a definição de polinômios de Taylor e saber calcular derivadas da função seno.

Passo 2

Primeiro, o que é um polinômio de Taylor? É uma maneira de aproximar uma função usando um polinômio que passa por um certo ponto e utiliza as derivadas da função nesse ponto. A fórmula geral do polinômio de Taylor de grau para a função em torno de é:

Passo 3

Como queremos expandir em torno de , isso simplifica nossa fórmula para:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :

Passo 5

Agora, vamos montar os polinômios de Taylor de grau 1, 3 e 5 usando os valores das derivadas:
Grau 1:
Grau 3:
Grau 5:

Passo 6

Então, resumindo, os polinômios de Taylor são:

Passo 7

Para comparar, se fizermos o gráfico da função junto com esses polinômios, veremos que conforme aumentamos o grau do polinômio, a aproximação fica melhor perto de . O polinômio de grau 1 é uma reta, o de grau 3 já começa a curvar-se e o de grau 5 se ajusta ainda mais à forma da seno.

Resposta

Os polinômios de Taylor de em torno de são:

Exercícios relacionados

Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
©
Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto para as seguintes funções:
(d)
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função , expandido em torno de .
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função em torno do ponto . Determine um limitante superior do erro para essa aproximação quando .