Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função
em torno do ponto
. Determine um limitante superior do erro para essa aproximação quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 2 para a função em torno de
. Além disso, vamos determinar um limite superior para o erro dessa aproximação quando
está no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e estimativa de erro usando o Teorema de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Taylor de grau 2. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
é:
Como queremos um polinômio de grau 2 e
, a fórmula fica:
Vamos calcular cada termo:
- Calcular
:
- Calcular
:
Usando a regra do produto:
Então,
- Calcular
:
Derivando:
Então,
Agora, substituindo na fórmula do polinômio:
Passo 3
Agora, vamos determinar um limite superior para o erro dessa aproximação. Usamos o Teorema de Taylor com o Resto na Forma de Lagrange, que nos diz que o erro
ao aproximar
pelo polinômio
é dado por:
Onde:
-
é um limite superior para a derivada de ordem de no intervalo considerado. -
é o grau do polinômio (no caso, ).
Para o nosso caso:
- Encontrar a terceira derivada
:
Derivando novamente:
- Determinar um limite para
no intervalo :
Portanto, podemos escolher
.
- Calcular o limite superior do erro:
Como
, o valor máximo de
é
. Então:
Resposta
O polinômio de Taylor de grau 2 para a função em torno de
é:
O limite superior do erro para essa aproximação no intervalo
é:
Exercícios relacionados
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função
expandido em torno de
. Desenhe o gráfico da função
e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.
(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para
, em torno do ponto
. (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para
desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto
.)
Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
(a)
(a)