Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função em torno do ponto . Determine um limitante superior do erro para essa aproximação quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de grau 2 para a função em torno de . Além disso, vamos determinar um limite superior para o erro dessa aproximação quando está no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de séries de Taylor e estimativa de erro usando o Teorema de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como construir o polinômio de Taylor de grau 2. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de ordem em torno de é:
Como queremos um polinômio de grau 2 e , a fórmula fica:
Vamos calcular cada termo:
  1. Calcular :
  1. Calcular :
    Usando a regra do produto:
Então,
  1. Calcular :
    Derivando :
Então,
Agora, substituindo na fórmula do polinômio:

Passo 3

Agora, vamos determinar um limite superior para o erro dessa aproximação. Usamos o Teorema de Taylor com o Resto na Forma de Lagrange, que nos diz que o erro ao aproximar pelo polinômio é dado por:
Onde:
  • é um limite superior para a derivada de ordem de no intervalo considerado.
  • é o grau do polinômio (no caso, ).
Para o nosso caso:
  1. Encontrar a terceira derivada :
Derivando novamente:
  1. Determinar um limite para no intervalo :
Portanto, podemos escolher .
  1. Calcular o limite superior do erro:
Como , o valor máximo de é . Então:

Resposta

O polinômio de Taylor de grau 2 para a função em torno de é:
O limite superior do erro para essa aproximação no intervalo é:

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Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 3, e 5 da função expandido em torno de . Desenhe o gráfico da função e dos polinômios de Taylor e compare os resultados.
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(a)