Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de
de grau
para as seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
, expandido em torno de
, para a função
. Para isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como aplicá-lo a essa função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de uma função em torno de um ponto
é uma aproximação polinomial da função perto desse ponto. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
de uma função
em torno de
é:
No nosso caso, como
, a fórmula simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas da função
e avaliá-las em
. A função
pode ser reescrita como
. Vamos encontrar as derivadas:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Seguimos esse padrão para as derivadas superiores. Em geral, a
-ésima derivada de
é:
Avaliar em
:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Sabemos que
, então:
Simplificando cada termo:
Resposta
A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau
da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para
, em torno do ponto
. (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para
desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto
.)
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função
em torno do ponto
. Determine um limitante superior do erro para essa aproximação quando
.
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função
, expandido em torno de
.
Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para
inteiro e onde
é o coeficiente binomial.