Produza uma fórmula geral para o polinômio de Taylor expandido em torno de de grau para as seguintes funções:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau , expandido em torno de , para a função . Para isso, vamos precisar entender o que é o polinômio de Taylor e como aplicá-lo a essa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. O polinômio de Taylor de uma função em torno de um ponto é uma aproximação polinomial da função perto desse ponto. A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau de uma função em torno de é:
No nosso caso, como , a fórmula simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas da função e avaliá-las em . A função pode ser reescrita como . Vamos encontrar as derivadas:
A primeira derivada:
A segunda derivada:
Seguimos esse padrão para as derivadas superiores. Em geral, a -ésima derivada de é:
Avaliar em :

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Sabemos que , então:
Simplificando cada termo:

Resposta

A fórmula geral para o polinômio de Taylor de grau da função em torno de é:

Exercícios relacionados

(a) Obtenha uma expansão usando polinômios de Taylor para , em torno do ponto . (Dica: Use a expansão em polinômio de Taylor para desenvolvida no exercício acima aplicada no ponto .)
Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 para a função em torno do ponto . Determine um limitante superior do erro para essa aproximação quando .
(a) Encontre o polinômio de Taylor de grau 1, 2, 3, e 4 para a função , expandido em torno de .
Use o polinômio de Taylor para mostrar que
para inteiro e onde é o coeficiente binomial.