Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Taylor! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de primeira (linear) e segunda (quadrática) ordem para a função
em torno do ponto
. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do polinômio de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem
em torno de
:
Como queremos os polinômios de primeira e segunda ordem, vamos precisar calcular
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Calculando em
:
Passo 5
Vamos calcular a segunda derivada
. Derivando
:
Em
:
Resposta
O polinômio de Taylor linear é:
E o polinômio de Taylor quadrático é: