Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto a para as seguintes funções:
(d) f(x) = log(1 + e^x), a = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Taylor! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de primeira (linear) e segunda (quadrática) ordem para a função em torno do ponto . Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula do polinômio de Taylor e calcular as derivadas necessárias da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem em torno de :
Como queremos os polinômios de primeira e segunda ordem, vamos precisar calcular , e .

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada . Para isso, usamos a regra da cadeia:
Calculando em :

Passo 5

Vamos calcular a segunda derivada . Derivando :
Em :

Resposta

O polinômio de Taylor linear é:
E o polinômio de Taylor quadrático é:

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