Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto a para as seguintes funções:
(a) f(x) = raiz(x), a = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de primeiro (linear) e segundo grau (quadrático) para a função , centrados no ponto . Isso vai usar conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a segunda ordem e avaliar elas em .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral do polinômio de Taylor. Para uma função centrada em , o polinômio de Taylor de grau é dado por:
Como queremos o polinômio linear (grau 1) e quadrático (grau 2), vamos calcular até a segunda derivada.

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, a primeira derivada de é:
Vamos avaliar em :

Passo 5

Agora, a segunda derivada de :
Avaliando em :

Resposta

Então, o polinômio de Taylor linear em torno de é:
E o polinômio de Taylor quadrático em torno de é:

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