Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para as seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de primeiro (linear) e segundo grau (quadrático) para a função
, centrados no ponto
. Isso vai usar conceitos de cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a segunda ordem e avaliar elas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral do polinômio de Taylor. Para uma função
centrada em
, o polinômio de Taylor de grau
é dado por:
Como queremos o polinômio linear (grau 1) e quadrático (grau 2), vamos calcular até a segunda derivada.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, a primeira derivada de
é:
Vamos avaliar em
:
Passo 5
Agora, a segunda derivada de
:
Avaliando em
:
Resposta
Então, o polinômio de Taylor linear em torno de
é:
E o polinômio de Taylor quadrático em torno de
é: