Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma integral dupla
e precisamos esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e como mudar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A integral está definida para
variando de 0 a 3. Para cada valor de
,
varia de
a
. A expressão
vem da equação de um círculo
, que tem raio 3 e está centrado na origem.
Passo 3
Para esboçar a região de integração, desenhamos o círculo
no plano xy. Como
vai de 0 a 3, estamos considerando apenas a metade superior desse círculo. Então, a região de integração é a semicírculo superior de raio 3.
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar primeiro em
e depois em
, faremos o contrário: integrar primeiro em
e depois em
. Para isso, precisamos determinar novos limites para
e
.
- Novo intervalo para
: Observando o círculo, varia de a . - Novo intervalo para
: Para cada valor de , varia de 0 até , que é a parte superior do círculo.
Passo 5
Com os novos limites definidos, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é
.
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