Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma integral dupla e precisamos esboçar a região de integração e inverter a ordem de integração. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e como mudar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A integral está definida para variando de 0 a 3. Para cada valor de , varia de a . A expressão vem da equação de um círculo , que tem raio 3 e está centrado na origem.

Passo 3

Para esboçar a região de integração, desenhamos o círculo no plano xy. Como vai de 0 a 3, estamos considerando apenas a metade superior desse círculo. Então, a região de integração é a semicírculo superior de raio 3.

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Isso significa que, ao invés de integrar primeiro em e depois em , faremos o contrário: integrar primeiro em e depois em . Para isso, precisamos determinar novos limites para e .
  • Novo intervalo para : Observando o círculo, varia de a .
  • Novo intervalo para : Para cada valor de , varia de 0 até , que é a parte superior do círculo.

Passo 5

Com os novos limites definidos, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A ordem de integração invertida é .

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