Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração. integral0^1 integralraizx-x^2^raiz2 x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla na forma e a missão é desenhar a região onde vamos integrar e depois inverter a ordem de integração. Isso envolve conhecimentos de cálculo de múltiplas integrais e geometria analítica para entender os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. A integração é para indo de 0 a 1, e para cada , vai de até .

Passo 3

Vamos desenhar a região de integração no plano . Para isso, precisamos entender as curvas que definem os limites de .

Passo 4

A curva inferior é y = raizx(1 - x) . Vamos simplificar isso:
Isso é válido para entre 0 e 1, já que dentro da raiz precisa ser positivo.

Passo 5

A curva superior é . Isso também é válido para .

Passo 6

Vamos encontrar o ponto onde essas duas curvas se encontram para saber onde mudar os limites na nova ordem de integração. Igualando as duas expressões:
raizx(1 - x) = raiz2x
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x(1 - x) = 2x
Simplificando:
x - x^2 = 2x
- x^2 - x = 0
x^2 + x = 0
x(x + 1) = 0
Então, ou . Como vai de 0 a 1, o único ponto de interseção relevante é .

Passo 7

Mas isso indica que não há interseção dentro do intervalo além de . Então, vamos analisar os limites.

Passo 8

Para inverter a ordem da integração, precisamos expressar y = raiz2x Rightarrow x = y^22 em função de y^2 = x - x^2 Rightarrow x^2 - x + y^2 = 0 . Vamos começar identificando os valores possíveis de x = 1 pm raiz1 - 4y^22 .
Da curva superior , resolvemos para :
Da curva inferior , elevamos ao quadrado:
Resolvendo a equação quadrática para :
Para que haja soluções reais, o discriminante , então .

Passo 9

Portanto, varia de 0 a . Para cada nesse intervalo, vai da curva inferior até a curva superior .

Passo 10

Agora que temos os novos limites, podemos escrever a integral com a ordem invertida:
integral0^12 integral1 - raiz1 - 4y^22^y^22 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^12 integral1 - raiz1 - 4y^22^y^22 f(x, y) , dx , dy

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