Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma integral dupla na forma
e a missão é desenhar a região onde vamos integrar e depois inverter a ordem de integração. Isso envolve conhecimentos de cálculo de múltiplas integrais e geometria analítica para entender os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração atuais. A integração é para
indo de 0 a 1, e para cada
,
vai de
até
.
Passo 3
Vamos desenhar a região de integração no plano
. Para isso, precisamos entender as curvas que definem os limites de
.
Passo 4
A curva inferior é
. Vamos simplificar isso:
Isso é válido para
entre 0 e 1, já que dentro da raiz precisa ser positivo.
Passo 5
A curva superior é
. Isso também é válido para
.
Passo 6
Vamos encontrar o ponto onde essas duas curvas se encontram para saber onde mudar os limites na nova ordem de integração. Igualando as duas expressões:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Então,
ou
. Como
vai de 0 a 1, o único ponto de interseção relevante é
.
Passo 7
Mas isso indica que não há interseção dentro do intervalo
além de
. Então, vamos analisar os limites.
Passo 8
Para inverter a ordem da integração, precisamos expressar
em função de
. Vamos começar identificando os valores possíveis de
.
Da curva superior
, resolvemos para
:
Da curva inferior
, elevamos ao quadrado:
Resolvendo a equação quadrática para
:
Para que haja soluções reais, o discriminante
, então
.
Passo 9
Portanto,
varia de 0 a
. Para cada
nesse intervalo,
vai da curva inferior
até a curva superior
.
Passo 10
Agora que temos os novos limites, podemos escrever a integral com a ordem invertida:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida fica:
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(a)
(a)