Encontre todas as soluções das equações:
Passo 1
Vamos começar resolvendo a primeira equação:
. Aqui, estamos trabalhando com números complexos e precisamos encontrar todas as soluções para
. Para isso, vamos utilizar a forma polar dos números complexos e a fórmula das raízes de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
na forma polar. Calculamos o módulo:
E o argumento
:
Como o argumento deve estar entre
e
, adicionamos
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar
tal que . Utilizamos a fórmula das raízes:
onde
para obter as duas soluções quadradas.
Passo 4
Calculando para
:
Para
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação:
. Aqui, queremos encontrar todas as soluções quintas de
no conjunto dos números complexos. Usaremos a representação polar de
para encontrar as raízes.
Passo 6
Representamos
na forma polar:
Queremos encontrar
tal que .
Passo 7
Utilizamos a fórmula das raízes:
onde
para obter as cinco soluções.
Passo 8
Calculando para cada valor de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Passo 9
Agora, vamos resolver a terceira equação:
. Aqui,
representa o conjugado de
. Queremos encontrar todos os números complexos
cujo conjugado elevado ao cubo seja igual a 1.
Passo 10
Reescrevendo a equação:
Isso implica que:
As soluções cúbicas de 1 são:
Passo 11
Agora, encontramos
tomando o conjugado de cada solução:
- Se
, então . - Se , então .
- Se , então .
Passo 12
Por fim, vamos resolver a quarta equação:
. Aqui, buscamos todas as soluções sétimas de
no conjunto dos números complexos.
Passo 13
Primeiro, representamos
na forma polar. Calculamos o módulo:
E o argumento
:
Como está no lado negativo, adicionamos
:
Passo 14
Agora, queremos encontrar
tal que:
Usamos a fórmula das raízes:
onde
para obter as sete soluções.
Passo 15
Calculando para cada valor de
:
- Para
: - Para
: - Repetimos esse processo até
.
Resposta
As sete soluções da equação
são:
para
.