Vamos começar resolvendo a primeira equação: . Aqui, estamos trabalhando com números complexos e precisamos encontrar todas as soluções para . Para isso, vamos utilizar a forma polar dos números complexos e a fórmula das raízes de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar na forma polar. Calculamos o módulo:
E o argumento :
Como o argumento deve estar entre e , adicionamos :
Passo 3
Agora, queremos encontrar tal que . Utilizamos a fórmula das raízes:
onde para obter as duas soluções quadradas.
Passo 4
Calculando para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda equação: . Aqui, queremos encontrar todas as soluções quintas de no conjunto dos números complexos. Usaremos a representação polar de para encontrar as raízes.
Passo 6
Representamos na forma polar:
Queremos encontrar tal que .
Passo 7
Utilizamos a fórmula das raízes:
onde para obter as cinco soluções.
Passo 8
Calculando para cada valor de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 9
Agora, vamos resolver a terceira equação: . Aqui, representa o conjugado de . Queremos encontrar todos os números complexos cujo conjugado elevado ao cubo seja igual a 1.
Passo 10
Reescrevendo a equação:
Isso implica que:
As soluções cúbicas de 1 são:
Passo 11
Agora, encontramos tomando o conjugado de cada solução:
Se , então .
Se , então .
Se , então .
Passo 12
Por fim, vamos resolver a quarta equação: . Aqui, buscamos todas as soluções sétimas de no conjunto dos números complexos.
Passo 13
Primeiro, representamos na forma polar. Calculamos o módulo: