Encontre todas as soluções das equações:

Passo 1

Vamos começar resolvendo a primeira equação: . Aqui, estamos trabalhando com números complexos e precisamos encontrar todas as soluções para . Para isso, vamos utilizar a forma polar dos números complexos e a fórmula das raízes de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar na forma polar. Calculamos o módulo:
E o argumento :
Como o argumento deve estar entre e , adicionamos :

Passo 3

Agora, queremos encontrar tal que . Utilizamos a fórmula das raízes:
onde para obter as duas soluções quadradas.

Passo 4

Calculando para :
Para :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda equação: . Aqui, queremos encontrar todas as soluções quintas de no conjunto dos números complexos. Usaremos a representação polar de para encontrar as raízes.

Passo 6

Representamos na forma polar:
Queremos encontrar tal que .

Passo 7

Utilizamos a fórmula das raízes:
onde para obter as cinco soluções.

Passo 8

Calculando para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Agora, vamos resolver a terceira equação: . Aqui, representa o conjugado de . Queremos encontrar todos os números complexos cujo conjugado elevado ao cubo seja igual a 1.

Passo 10

Reescrevendo a equação:
Isso implica que:
As soluções cúbicas de 1 são:

Passo 11

Agora, encontramos tomando o conjugado de cada solução:
  • Se , então .
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 12

Por fim, vamos resolver a quarta equação: . Aqui, buscamos todas as soluções sétimas de no conjunto dos números complexos.

Passo 13

Primeiro, representamos na forma polar. Calculamos o módulo:
E o argumento :
Como está no lado negativo, adicionamos :

Passo 14

Agora, queremos encontrar tal que:
Usamos a fórmula das raízes:
onde para obter as sete soluções.

Passo 15

Calculando para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Repetimos esse processo até .

Resposta

As sete soluções da equação são:
para .

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são números complexos com parte imaginária não nula. Se e são essas soluções, mostre que . Mais geralmente, se é um polinomio de grau arbitrário, com coeficientes reais, e se é tal que , então tem-se que .