Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de ordem 3 para a função
com centro em
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar elas no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3:
Aqui,
,
e
são as derivadas primeira, segunda e terceira de
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada no ponto
:
- Valor da função em
:
- Primeira derivada em
:
- Segunda derivada em
:
- Terceira derivada em
:
Passo 5
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 3 para
com centro em
é:
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Use a série binomial para
.
Em que intervalo de valores
(encontre
) se pode usar um polinômio de Taylor de grau 2,
, com centro em
, para aproximar o
, comentendo um erro limitado a
?