Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os polinômios de Taylor de ordem 3 para a função com centro em . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a expansão em série de Taylor. Vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem e avaliar elas no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do polinômio de Taylor de ordem 3:
Aqui, , e são as derivadas primeira, segunda e terceira de , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada no ponto :
  1. Valor da função em :
  1. Primeira derivada em :
  1. Segunda derivada em :
  1. Terceira derivada em :

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando os coeficientes:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 3 para com centro em é:

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