Em que intervalo de valores |x| < s (encontre s) se pode usar um polinômio de Taylor de grau 2, P2(x), com centro em x0 = 0, para aproximar o cos(x), comentendo um erro limitado a epsilon < 10^(-4)?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de aproximação usando o polinômio de Taylor de grau 2 para a função cos(x). A questão pede para encontrar o intervalo de valores onde essa aproximação tem um erro limitado a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor e cálculo de erros de aproximação.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é o polinômio de Taylor de grau 2 para cos(x) centrado em . A série de Taylor para cos(x) é:
Como queremos um polinômio de grau 2, o nosso será:

Passo 3

O erro na aproximação usando o polinômio de Taylor de grau 2 é dado pelo próximo termo da série de Taylor, que no caso é:
Queremos que esse erro seja menor que :

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade para encontrar o valor máximo de |x|, ou seja, s:
Multiplicando ambos os lados por 24:

Passo 5

Para encontrar |x|, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Calculando a raiz quarta:

Resposta

O intervalo de valores onde é aproximadamente .

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