Em que intervalo de valores (encontre ) se pode usar um polinômio de Taylor de grau 2, , com centro em , para aproximar o , comentendo um erro limitado a ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de aproximação usando o polinômio de Taylor de grau 2 para a função . A questão pede para encontrar o intervalo de valores onde essa aproximação tem um erro limitado a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor e cálculo de erros de aproximação.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é o polinômio de Taylor de grau 2 para centrado em . A série de Taylor para é:
Como queremos um polinômio de grau 2, o nosso será:

Passo 3

O erro na aproximação usando o polinômio de Taylor de grau 2 é dado pelo próximo termo da série de Taylor, que no caso é:
Queremos que esse erro seja menor que :

Passo 4

Agora, vamos resolver a desigualdade para encontrar o valor máximo de , ou seja, :
Multiplicando ambos os lados por 24:

Passo 5

Para encontrar , tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Calculando a raiz quarta:

Resposta

O intervalo de valores onde é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Use a série binomial para .
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.
Escreva seus 5 primeiros termos, encontre os 5 primeiros termos da série do e escreva a série
Encontre séries com centro em , ou (quando indicado) para as funções por qualquer método: substituição, operações algébricas, operações diferenciais, exceto fórmula de Taylor. Use, por enquanto, séries dadas nas aulas e no capítulo, mesmo que não tenha visto sua .