Em que intervalo de valores (encontre ) se pode usar um polinômio de Taylor de grau 2, , com centro em , para aproximar o , comentendo um erro limitado a ?
Passo 1
Vamos resolver um exercício de aproximação usando o polinômio de Taylor de grau 2 para a função . A questão pede para encontrar o intervalo de valores onde essa aproximação tem um erro limitado a . Para isso, vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor e cálculo de erros de aproximação.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é o polinômio de Taylor de grau 2 para centrado em . A série de Taylor para é:
Como queremos um polinômio de grau 2, o nosso será:
Passo 3
O erro na aproximação usando o polinômio de Taylor de grau 2 é dado pelo próximo termo da série de Taylor, que no caso é:
Queremos que esse erro seja menor que :
Passo 4
Agora, vamos resolver a desigualdade para encontrar o valor máximo de , ou seja, :
Multiplicando ambos os lados por 24:
Passo 5
Para encontrar , tiramos a raiz quarta de ambos os lados: