Escreva os 5 primeiros termos para a série do e em qual intervalo ela converge?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever os 5 primeiros termos da série da função e descobrir em qual intervalo essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções complicadas com polinômios mais simples. Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas e como integrar séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando: . Sabemos que , então podemos reescrever a função como . Isso simplifica nossa vida, pois agora vamos trabalhar com .

Passo 3

Agora, para encontrar a série de Taylor de , vamos lembrar que a derivada de é . Ou seja:
Mas queremos a expressão para , então vamos integrar a derivada:
Sabemos que a série de Taylor para em torno de 0 é:

Passo 4

Vamos integrar cada termo dessa série para obter a série de :
Integrando termo a termo, temos:
Como estamos expandindo em série de Taylor em torno de 0, a constante de integração é zero.

Passo 5

Portanto, a série de Taylor para fica:
Mas, como queremos a série de , que é , basta mudar os sinais:
Agora, vamos listar os 5 primeiros termos dessa série.

Resposta

Os 5 primeiros termos da série de são:
Essa série converge no intervalo .

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Encontre o raio de convergência da série e, em seguida, estude os extremos do intervalo de convergência. Por fim, faça um diagrama com a reta numérica, indicando as intevalos e pontos em que a série converge absolutamente, ou converge condicionalmente, ou diverge:
Use a série binomial para .
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro indicado:
.
Use a série binomial para .