Escreva os 5 primeiros termos para a série do e em qual intervalo ela converge?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para escrever os 5 primeiros termos da série da função e descobrir em qual intervalo essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções complicadas com polinômios mais simples. Vamos precisar conhecer um pouco sobre funções trigonométricas e como integrar séries.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos trabalhando: . Sabemos que , então podemos reescrever a função como . Isso simplifica nossa vida, pois agora vamos trabalhar com .
Passo 3
Agora, para encontrar a série de Taylor de , vamos lembrar que a derivada de é . Ou seja:
Mas queremos a expressão para , então vamos integrar a derivada:
Sabemos que a série de Taylor para em torno de 0 é:
Passo 4
Vamos integrar cada termo dessa série para obter a série de :
Integrando termo a termo, temos:
Como estamos expandindo em série de Taylor em torno de 0, a constante de integração é zero.
Passo 5
Portanto, a série de Taylor para fica:
Mas, como queremos a série de , que é , basta mudar os sinais:
Agora, vamos listar os 5 primeiros termos dessa série.