Use a série binomial para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para usar a série binomial para a função . A matéria que entra aqui é a série binomial, que nos ajuda a expandir expressões desse tipo. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer os coeficientes binomiais e como aplicar a fórmula da série binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série binomial. A série binomial é uma maneira de expandir expressões da forma , onde pode ser qualquer número real, mas no nosso caso, , que é um número inteiro positivo.

Passo 3

A fórmula da série binomial para é dada por:
Aqui, é o coeficiente binomial, que calcula quantas combinações diferentes de elementos podemos escolher a partir de .

Passo 4

No nosso caso, , então vamos calcular os coeficientes binomiais para até :
Calculando cada um:

Passo 5

Agora, aplicamos esses coeficientes na fórmula da série binomial:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A expansão da série binomial para é:

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.
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