Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 3 para a função
com o centro em
. Isso faz parte do conteúdo de Polinômios de Taylor, que são usados para aproximar funções por polinômios em torno de um ponto específico. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como construir um polinômio de Taylor de ordem 3. A fórmula geral é:
Então, nosso objetivo é encontrar
,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando a função no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
. Usamos a regra da derivada para potências:
Então, avaliando em
:
Passo 5
Vamos para a segunda derivada:
Avaliando em
:
Passo 6
Agora, a terceira derivada:
Avaliando em
:
Resposta
Agora que temos todas as derivadas necessárias, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem 3:
Exercícios relacionados
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Escreva os 5 primeiros termos para a série do
e em qual intervalo ela converge?
Use a série binomial para
.
No intervalo de valores
qual o grau mínimo do polinômio de Taylor
, com centro em
, se deve usar para aproximar o
, comentendo um erro limitado a
?