Encontre as séries de Taylor de com centro série de MacLaurin: :
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar as séries de Taylor e MacLaurin para a função , sendo que o centro da série de Taylor é . Isso está ligado ao conteúdo de séries de Taylor em cálculo. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto e montar a série passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico . A fórmula geral da série de Taylor para uma função centrada em é:
Como nossa função é um polinômio de terceiro grau, a série de Taylor vai parar no termo de terceiro grau.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  1. Valor da função em :
  1. Primeira derivada em :
  1. Segunda derivada em :
  1. Terceira derivada em :

Passo 5

Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Então, a série de Taylor de centrada em é:

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:

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