Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar as séries de Taylor e MacLaurin para a função
, sendo que o centro da série de Taylor é
. Isso está ligado ao conteúdo de séries de Taylor em cálculo. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função no ponto
e montar a série passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico
. A fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
é:
Como nossa função é um polinômio de terceiro grau, a série de Taylor vai parar no termo de terceiro grau.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
- Valor da função em
:
- Primeira derivada em
:
- Segunda derivada em
:
- Terceira derivada em
:
Passo 5
Agora, vamos montar a série de Taylor usando os valores que calculamos:
Substituindo os valores:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Então, a série de Taylor de
centrada em
é:
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
Exercícios relacionados
Escreva os 5 primeiros termos para a série do
e em qual intervalo ela converge?
Em qual ordem se deve aproximar
em
para ter um erro máximo
?
Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Use a série binomial para
.