Use a série binomial para
.
Passo 1
Beleza! A gente vai usar a série binomial para expandir a função
. A série binomial é uma maneira de escrever expressões como
em forma de soma infinita. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série binomial e aplicar ela ao nosso caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série binomial. Ela é dada por:
Onde:
-
é um número real (pode ser qualquer número, não precisa ser inteiro). -
é o coeficiente binomial, calculado por:
Passo 3
No nosso caso, queremos expandir
. Sabemos que
pode ser escrita como
. Então, vamos substituir
por
na fórmula da série binomial.
Passo 4
Substituindo
na fórmula, temos:
Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa soma para entender melhor como fica a expansão.
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes binomiais para os primeiros valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Agora, vamos montar a série com os termos que calculamos:
Isso significa que conseguimos expandir
como uma soma infinita de potências de
, usando a série binomial.
Resposta
A expansão da função
usando a série binomial é:
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Encontre os polinômios de Taylor de ordem 3 com centro
indicado:
.
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.
No intervalo de valores
qual o grau mínimo do polinômio de Taylor
, com centro em
, se deve usar para aproximar o
, comentendo um erro limitado a
?
Encontre as séries de Taylor de com centro
série de MacLaurin:
:
.