Use a série binomial para .

Passo 1

Beleza! A gente vai usar a série binomial para expandir a função . A série binomial é uma maneira de escrever expressões como em forma de soma infinita. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da série binomial e aplicar ela ao nosso caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série binomial. Ela é dada por:
Onde:
  • é um número real (pode ser qualquer número, não precisa ser inteiro).
  • é o coeficiente binomial, calculado por:

Passo 3

No nosso caso, queremos expandir . Sabemos que pode ser escrita como . Então, vamos substituir por na fórmula da série binomial.

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
Agora, vamos calcular os primeiros termos dessa soma para entender melhor como fica a expansão.

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes binomiais para os primeiros valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, vamos montar a série com os termos que calculamos:
Isso significa que conseguimos expandir como uma soma infinita de potências de , usando a série binomial.

Resposta

A expansão da função usando a série binomial é:

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.
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